SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

olması ancak p = 2 olması halinde mümkündür. O halde aranan n tamsayısıl ≥ 1 olmak üzere n = 2 l şeklindedir. Tersine n = 2 l ( l ≥ 1 ) ise ϕ ( n)=dir.+2 2Örnek 3.21. m,n ∈ Z ve m ≠ n olmak üzere (2 mn+ 1,2 + 1) = 1 olduğunugösterelim.+Çözüm. m > n olduğunu kabul edelim. O halde k ∈Z olmak üzerem = n + k dır. Buradan2 2 2 .2 2 2 2 22 m 1 2 n ++ = k + 1 = 2 n k + 1 = (2 n ) k + 1 = (2 n + 1− 1) k+ 1k2( 1) 12= t − + , t = 2 + 1yazabiliriz. Şu haldeve binom açılımındank2(( 1) 1, )t − +n2 2 2(2 m + 1,2 n + 1) = (( − 1) k+ 1, )buluruz. ( tp + 2, t)= h olsun. Şu haldetk k k⎛2 2 2 1 2 2t t k ⎛ ⎞ k... 1,kk1 t −⎛ ⎞2 1 t ⎛ ⎞2t⎞= − + − + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎟⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠= ( tp + 2, t), p ∈ Zh | t ⇒ h | tp⎬⎫ ⇒ h | [( tp + 2) − tp] = 2h | tp + 2 ⎭elde edilir. Buradan dah | 2 ⇒ h = 1∨ h = 2m22sonucu çıkar. h = 2 olamaz, çünkü 2 + 1 ve 2 + 1 sayıları tektir dolayısıylaortak bölenleri 2 olamaz, böylece h = 1 buluruz.p bir asal sayı olmak üzeref x = x − ∈ Z xp−1( ) 1p[ ]polinomunu göz önüne alalım. 1, 2,..., p −1∈ Zpelemanları, f ( x )polinomunun Zpiçindeki çözümleridir. Çünkü a ∈ Zpve 1 ≤ a ≤ p − 1 için≡ ≡ 1(mod ) dir. f ( x ) polinomunun mod p , p − 1 tane kongrüentϕ ( p) p−1a a polmayan çözümü vardır ve bunlar 1, 2,..., p −1∈ Zpdir. Böylece,p 1x x x x p− − 1 = ( − 1)( − 2)...( − ( − 1))(3.6)yazılabilir. Bundan yararlanarak aşağıdaki teoremi kanıtlayacağız.ntn237