SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

yani ϕ ( m) | ( j − k)bulunur. Fakat 1 ≤ j, k ≤ ϕ( m)olduğundanj − k < ϕ( m)olup, ϕ ( m) | ( j − k)bağıntısı ancak j − k = 0 , yani j = k içingerçeklenir. Şu halde j ≠ k ise j kg ≡ g (mod m)dir.Teorem 5.7. m > 1 bir tamsayı ve g , m modülüne göre bir primitif kök isekbu takdirde g nın , m modülüne göre bir primitif kök olması için gerek veyeter koşul ( k, ϕ ( m)) = 1 olmasıdır.Kanıt. g , m modülüne göre bir primitif kök olduğundan Teorem 5.4. e göredir. Şu haldek eksmg ϕ( m)eksm( g ) = =( k,eks g) ( k, ϕ( m))kg nın , mmmodülüne göre bir primitif kök olması, yanieks ( g km) = ϕ ( m ) olması için gerek ve yeter koşul ( k , ϕ ( m )) = 1 olmasıdır.+p bir asal sayı ve α ∈ Z olmak üzere m nin 2, 4, p, p α ve 2. p αdeğerleri için m modülüne göre primitif kök vardır. m nin başka hiçbir değeriiçin primitif kök yoktur.+Teorem 5.8. m ∈ Z olmak üzere, eğer varsa, m modülüne göre inkongrüentprimitif köklerin sayısı tam ϕ( ϕ ( m))dir.Kanıt. g , m modülüne göre bir primitif kök olsun. m ile aralararında asal2 ( m)olan herhangi bir tamsayı, g, g ,..., g ϕ sayılarından birine kongrüenttir.Diğer yandan Teorem 5.7. ye görekg nın, m modülüne göre bir primitif kökolması için gerek ve yeter koşul ( k, ϕ ( m)) = 1 olmasıdır. Şu halde k ≤ ϕ( m)koşuluna uyan bu tamsayıların sayısı tam ϕ( ϕ ( m))dir.Sonuç: p bir asal sayı olmak üzere, p modülüne göreprimitif kök vardır.ϕ( ϕ( p)) = ϕ( p − 1) tanep−1Örnek 5.7. 11 modülüne göre bütün primitif kökleri bulalım.Çözüm. 11 modülüne göre ϕ( p − 1) = ϕ(11 − 1) = ϕ(10) = 4 tane primitif kökvardır. Bir a tamsayısı için, Teorem 5.3. e göre eks a | ϕ( p)olduğundan1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10sayılarının eksponentlerini ararkenϕ( p) = ϕ(11) = 10sayısının bölenleri olan 1, 2, 5, 10 sayılarına bakmak yeter.p58