SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

x + x + ≡ ⇒ x + − + ≡2 24 4 20 0(mod11) (2 1) 1 20 0(mod11)yazabiliriz. 2x+ 1 = y dersek,( )2x ≡ de yazabilirdik).3 mod112y ≡ − ≡ buluruz ( Bunun yerine19 3(mod11)2Tanım 6.1. a bir tamsayı ve ( a, m ) = 1 olsun. x ≡ a(mod m)kongrüansınınçözümü varsa a ya m modülüne göre bir kuadratik rezidü ( kuadratik kalan )2ve eğer x ≡ a(mod m)kongrüansının çözümü yoksa a ya m modülüne görebir kuadratik non- rezidü denir. Kısaca, kuadratik rezidü yerine KR,kuadratik non- rezidü yerine de KNR yazacağız.Tanım 6.2. p bir tek asal sayı ve ( a, p ) = 1 olsun.⎛ a ⎞ ⎧+1 , eğer a , mod p bir KR ise,⎜ ⎟ = ⎨⎝ p ⎠ ⎩ -1 , eğer a , mod p bir KNR iseşeklinde tanımlı⎛ a ⎞⎜ ⎟⎝ p ⎠sembolüne Legendre sembolü adı verilir.2Örneğin x ≡ 4( mod11)kongrüansı çözülebilir olduğundan( x ≡ 2( mod11)bir çözümdür ) 2 , 11 modülüne göre bir KR dür ve bundandolayı⎛ 4 ⎞⎜ = 17⎟⎝ ⎠2dir. 3( mod 7)7 modülüne göre bir KNR olup,x ≡ kongrüansının çözümü olmadığından 3 ,⎛ 3 ⎞⎜ = − 17⎟ bulunur.⎝ ⎠Teorem 6.1. p bir tek asal sayı , a ∈ Z ve ( a, p ) = 1 olmak üzerep−11) a2 ≡ 1(mod p ) ise a, p modülüne göre bir kuadratik rezidü,p−12) a2 ≡ − 1(mod p ) ise a, p modülüne göre bir kuadratik non-rezidüdür.Kanıt. Teorem 5.11. de n = 2 alırsak,p−11) a2 ≡ 1(mod p ) isep−12) a2 ≢ 1(mod p ) ise2x a p( n, p − 1) = (2, p − 1) = 2 olacağından,çift≡ (mod ) kongrüansı çözümlü,≡ (mod ) kongrüansının çözümü yoktur.2x a p( a, p ) = 1 olduğundan Fermat Teoremine göre,68