SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

olduğundan2x ≡ 2(mod 61) kongrüansının çözümü yoktur.Örnek 6.5.2x + 2 ≡ 0(mod 61) kongrüansının çözümü var mıdır ?2Çözüm. x ≡ − 2(mod 61) kongrüansının çözümlü olup olmadığınıaraştırmalıyız.⎛ −2 ⎞ ⎛ −1⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎛ −1⎞⎛ 2 ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⇒ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ( + 1)( − 1) = −1⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠⎝ p ⎠ ⎝ 61 ⎠ ⎝ 61 ⎠⎝ 61⎠22olduğundan x ≡ − 2(mod 61) kongrüansının, dolayısıyla x + 2 ≡ 0(mod 61)kongrüansının çözümü yoktur. Burada61−1 60⎛ −1⎞ 2 2⎛ 2 ⎞⎜ ⎟ = ( − 1) = ( − 1) = + 1,⎜ ⎟ = − 1⎝ 61⎠⎝ 61⎠olduğunu kullandık.Örnek 6.6. p, p = 8m+ 1 veya p = 8m+ 3 şeklinde bir asal sayı ise butakdirde xÇözüm.2yazabiliriz.ve+ 2 ≡ 0(mod p)kongrüansının çözümlü olduğunu gösterelim.p−1⎛ −2 ⎞ ⎛ −1⎞⎛ 2 ⎞2⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ( −1) ( −1)⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠⎝ p ⎠2p −18p −1p = m + ⇒ = m ⇒ − = − =22p p p m mp−18 1 4 ( 1)24m( 1) 1p2 −12 m(4m1) ( 1)82 m(4m+1)( 1) 1−1 ( − 1)( + 1) 8 (8 + 2)= = = + ⇒ − = − =8 8 82p −18p−1⎛ −2⎞2elde ederiz. Şu halde ⎜ ⎟ = ( −1) ( − 1) = 1.1 = 1 olduğundan⎝ p ⎠2x + 2 ≡ 0(mod p)kongrüansı çözümlüdür. Diğer taraftan eğer, p = 8m+ 3 isevep2p−1− 1 =24m+1m + ⇒ − = − = −4 1 ( 1) ( 1) 12p p p m m−1 ( − 1)( + 1) (8 + 2)(8 + 4)= = = (4m+ 1)(2m+ 1)8 8 8⇒2p −18 tek( 4 m+ 1)( 2m+1)( − 1) = ( − 1) = −172