SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

olduğunu göstermek kalmaktadır. Bunun için a ∉ M için birim elemanolmayan a + M ∈ H M elemanını göz önüne alalım.{ , }N = ha + m | h ∈ H m ∈ Molmak üzere ( N , + ) ikilisi bir gruptur. Çünkü,∀h h ∈ H , ∀m1 , m2∈ M için( h1 a + m1 ) + ( h2a + m2 ) = ( h1 + h2 ) a + ( m1 + m2) ∈ N, a)1,2b) 0 = 0. a + 0 ∈ N ,c) − ( ha + m) = ( − h ) a + ( −m)∈ N koşulları gerçeklenir. Ayrıca,∈H∈M∈Hh ( ha + m) = ( h h)a + h m ∈ N1 1 1∈Hdir ve H değişmeli olduğundan ( ha + m)h1∈ N olur. Şu halde N, H nın biridealidir. Diğer taraftan, a = 1. a + 0∈ N dir ve ∀m ∈ M için m = 0. a + m ∈ Nyazılabileceğinden N ⊂ M bulunur. a ∈ N,a ∉ M olduğundan N, H nın M yikapsayan bir idealidir, yani M ⊂ N dir, halbuki M maksimal olduğundanN = H bulunur. Dolayısıyla 1∈ N dir. N nin tanımından b ∈ H , m ∈ Miçin 1 = ba + m ∈ N olur. Bu durumda,1 + M = ( ba + m) + M = ba + M = ( b + M )( a + M )olacağından a + M nin çarpımsal inversi olarak b + M bulunur. DolayısıylaH M bir cisimdir.PROBLEMLER1) ( H , + ,.) herhangi bir halka ve a ∈ H olsun. aH ve Ha nın sırasıyla Hnın bir sağ ve bir sol ideali olduğunu kanıtlayınız.∈M∈M2) ( H , + ,.) herhangi bir değişmeli halka ve a ∈ H olmak üzerea+ n{ , Z }N = x | x ∈ H ∃n ∈ ∋ x ∈ Hkümesinin H nın bir ideali olduğunu gösteriniz.3)12( Z , + ,.) halkasının bütün ideallerini belirleyiniz.4) A ve B , değişmeli bir ( H , + ,.) halkasının iki ideali olsun. Bu durumda,{ ( )}A : B = h ∈ H | hb ∈ A ∀b ∈ B için209