SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

*{ 0} R − = R grubunun bir alt grubudur. R komütatif olduğundan G dekomütatif gruptur.PROBLEMLER1) ( Q , + ) nın, ( C , + ) toplamsal grubunun bir alt grubu olduğunu kanıtlayınız.2) H ve K, bir G grubunun iki alt grubu olmak üzere H ∩ K nın, G nin bir altgrubu olduğunu gösteriniz.= ∈ Z kümesinin, ( R , + ) grubunun bir alt grubu olduğunu3) H { 2 kn | k }gösteriniz ve H nın mertebesini bulunuz.Not: Bu gruba 2n nin gerdiği sonsuz devirli grup denir ve H = 2nşeklindegösterilir.4) G bir grup ve S G⊂ olsun. N { x G | xS Sx}S= ∈ = kümesinin G nin bir altgrubu olduğunu gösteriniz. Bu kümeye S kümesinin normalleyeni( normalizatörü ) adı verilir.5) H, bir G grubunun herhangi bir alt grubu olsun. g ∈ G olmak üzere−{ }−1 gHg = ghg 1 | h ∈ Hkümesinin G nin bir alt grubu olduğunu kanıtlayınız.6) ( G ,.) bir grup olsun. G kümesi, x ve y elemanları ile yazılan ve2 2x = y = e , x. y = y.x önermelerini gerçekleyen 4 elemanlı bir küme olsun.G nin elemanlarını belirleyiniz ve ( G ,.) grubunun tüm alt gruplarını yazınız.7) ( G , ) , ( G, ) grubunun alt gruplarının bir ailesi olsun.nn∈N∀n∈ N içinGn⊆ Gn + 1önermesi doğru ise ( Gn, )n∈Nailesine G nin artan gruplar dizisiadı verilir, bu dizi ile oluşturulan ( ∪n∈NGn, ) cebirsel yapısının ( G, )grubunun bir alt grubu olduğunu kanıtlayınız.8) ( Gi, )i∈I, ( G, ) grubunun alt gruplarının bir ailesi olsun. i,j ∈ I indisleriiçinGi⊆ Gkve Gj⊆ Gk123