SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Teorem 7.2. Zm× Zngrubunun Zmngrubuna izomorf yapılabilmesi içingerek ve yeter koşul e. b. o. b.( m, n ) = 1 olmasıdır.Kanıt. Zm× Zndeki (1,1) elemanını göz önüne alalım. Bu elemanın ürettiğidevirli alt grubun mertebesi, (1,1) den çarpım grubunun birim elemanı olan(0,0) elemanını üretecek en küçük kat veya üstür. Yani, p (1,1) = (0,0) veya(1,1) p = (0,0) olacak şekilde en küçük p tamsayısıdır. Burada, kat veya üskelimesi grup işlemi sırasıyla toplama ve çarpma benzeri düşünüldüğü içinkullanılmaktadır, ancak işlemler genel anlamda anlaşılmalıdır. Diğer taraftan,Z nin 1 elemanının m , 2m , 3m , ... gibi katları sıfır birim elemanınımverecektir. Aynı şekilde, Znnin 1 elemanının n , 2n , 3n , ... gibi katları sıfırbirim elemanını verecektir. Bu sayıların en küçükleri m ve n olduğundan(1,1) in, (0,0) elemanını üreten en küçük katı mn dir. m ve n tamsayılarınınen küçük ortak katının mn olması için e. b. o. b.( m, n ) = 1 olmalıdır.nSonuç 7.1. Χ Z kartezyen çarpım grubunun, i= 1 mZim1 m2 ... mdevirli grubunanizomorf olması için gerek ve yeter koşul 1 ≤ i ≤ n olmak üzere milerin ikişerikişer aralarında asal olmaları, yani 1 ≤ i , j n∀i, j i ≠ j içine. b. o. b.( m , m ) = 1 olmasıdır.ijÖrnek 7.3. Z2× Z3 × Z5 ≅ Z30,Z8 × Z9≅ Z72dir.≤ olmak üzere ( )Örnek 7.4. n tamsayısının kanonik gösterimin1 n2nrn = p1 p2 ... p rşeklindeki ise bu taktirde Zngrubu aşağıdaki kartezyen çarpım grubunaizomorf yapılabilir;n1 n2nrZ ≅ Z × Z × ... × Z .n p1 p2prTanım 7.2. G bir grup ve G1 , G2,..., Gnkümeleri G nin alt grupları olsun.Eğer,φ :ΧnGi= 1 i→Gφ( g , g ,..., g ) = g g ... g1 2 n 1 2dönüşümü bir izomorfizma ise G grubuna G1, G2, ... , Gnalt gruplarının içkartezyen çarpımıdır denir.n154