SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

denklik sınıfına aittir. Eğer aynı zamanda a ∈ b ise a = b olduğunugösterebiliriz. Böylece, S nin her elemanı sadece bir tek denklik sınıfına aitolmuş olur. Gerçekten, a ∈ b olsun. x ∈ a alalım, o taktirde x ∼ a dır. a ∈ bolduğundan a ∼ b dir, böylece denklik bağıntısının geçişme özelliğine görex∼ b elde ederiz. Yani x ∈ b dir. O halde a de alınan bir eleman aynızamanda b de olduğundan ataktirde yolur. Yine geçişme özelliğine göre y⊂ b dir. Benzer şekilde y ∈ b alalım, bu∼ b dir. Üstelik a ∼ b olduğundan simetri özelliğine göre b ∼ a∼ a olduğundan y ∈ a buluruz, ki bubize b ⊂ a olduğunu gösterir. Böylece kümelerin eşitliği tanımı ile a = bolduğu sonucunu elde ederiz.Örnek 1.1. m,n ∈ Z olmak üzere “ m ∼ n ⇔ mn ≥ 0 ” şeklinde tanımlıbağıntı bir denklik bağıntısı mıdır?2Çözüm. 1) a ∈ Z olsun. a. a = a ≥ 0 olduğundan a ∼ a dır.2) a,b ∈ Z olsun. a ∼ b ⇒ ab ≥ 0 dır. Z nin çarpma işlemine göredeğişmeli olması nedeniyle ab = ba ≥ 0 olduğundan b ∼ a dır.3) a, b,c ∈ Z olmak üzere a ∼ b ve b ∼ c olsun. Böylece, ab ≥ 0 ve2bc ≥ 0 dır. Bu iki ifade taraf tarafa çarpılırsa ab c ≥ 0 elde ederiz, burada eğerb ≠ 0 ise ac ≥ 0 dır. Ancak, b = 0 ise ac ≥ 0 eşitsizliği her zaman doğruolmayabilir. Örneğin; −3 ∼ 0 ve 0 ∼ 5 iken −3 ∼ 5 bağıntısı geçerli değildir.Böylece, verilen bağıntı bir denklik bağıntısı değildir.+Örnek 1.2. n ∈ Z olsun. a,b ∈ Z olmak üzere,“ a ≡ b(mod n)⇔ n | a − b veya a − b = kn olacak şekilde bir k ∈ Z vardır.”şeklinde tanımlanan mod n kongrüans bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. Bubağıntı ile ilgili özellikler birinci bölümdeki Teorem 3.1. ve Teorem 3.2. deverilmiştir.PROBLEMLER1) α ve β , boş olmayan bir X kümesi üstünde birer denklik bağıntısı iselerα ∩ β nın da X kümesi üstünde birer denklik bağıntısı olduğunu kanıtlayınız.2) Düzlemdeki bütün üçgenlerin kümesi üstünde tanımlanan benzerlikbağıntısının bir denklik bağıntısı olduğunu kanıtlayınız.108