SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Örnek 8.11. Bir devresel grubun komütatör grubunu belirleyelim.Çözüm. G bir devresel grup olsun. G devresel olduğundan komütatiftir.Şu halde her a,b ∈ G için sol ve sağ komütatörler:( )G kom.−1 −1 −1 −1 −1x = b ⋅a ⋅b ⋅ a = a b ⋅ b a = a ⋅ a = 11G( )G kom.−1 −1 −1 −1 −1y = b ⋅a ⋅b ⋅ a = b a ⋅ a b = b ⋅ b = 11Golduğundan G nin komütatör grubu K = { 1 G } dir.Teorem 8.12. G bir grup, H ve K da G nin iki alt grubu olsun. Eğer G grubuH ile K nın iç kartezyen çarpımı ise o taktirde H ve K, G nin normal altgruplarıdır ve G H ≅ K doğal izomorfizmi mevcuttur.Kanıt. İç kartezyen çarpımları, izdüşüm izomorfizmaları sayesinde dışkartezyen çarpımlara dönüştürebileceğimizi biliyoruz. Böylece G yi H × Kdış kartezyen çarpım grubuna izomorf yapabiliriz. O halde kanıtlamamızH = ( h, e)| h ∈ H nın H × K nın normal alt grubu olduğu vegereken şey, { }( H × K ) H nin K {( e, k)k K}= | ∈ ya izomorf olacağıdır. H ninH × K grubunun bir normal alt grubu olduğunu göstermek için1∀( h, k)∈ H × K için ( h, k) H ( h, k)− = H olduğunu göstermeliyiz. ( h1, e)∈ Holsun.−1 −1 −1 −1 −1 −1( h, k)( h , e)( h, k) = ( h, k)( h , e)( h , k ) = ( hh h , kek ) = ( hh h , e)∈ H1 1 1 1elde ederiz. O halde H , H × K nın bir normal alt grubudur. Diğer taraftan Hnin kalan sınıfları k ∈ K için ( e, k)H şeklindedir ve: K ( H K ) Hφ → × , φ ( e, k) = ( e, k)Hdönüşümü bir izomorfizmadır, dolayısıyla G H ≅ K doğal izomorfizmimevcuttur.Örnek 8.12. G = 12 olmak üzere ( G ,.) grubu a elemanı tarafından üretilen4bir devirli grup, yani G =< a > olsun. H =< a > , G nin bir devirli alt grubuolmak üzere G H bölüm grubunun elemanlarını bulunuz ve bu grubun işlemtablosunu elde ediniz.Çözüm. G = { e, a, a 2 ,..., a11} ve H { e, a 4 , a8}= dir. G grubu devirliolduğundan değişmelidir ve H nın G deki sol ve sağ kalan sınıfları x ∈ Golmak üzerexH = { xh | h ∈ H} = { hx | h ∈ H}= HxGG169