SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

273 − 1 73 −111 − 1 73 1.−2 8 2 2⎛ −22 ⎞ ⎛ −1⎞⎛ 2 ⎞⎛ 11 ⎞ ⎛ 73 ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ = ( −1) ( −1) ( −1)⎜ ⎟⎝ 73 ⎠ ⎝ 73 ⎠⎝ 73 ⎠⎝ 73 ⎠ ⎝ 11 ⎠elde edilir.72.7436 8 5.36 ⎛ 73 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎛ −1⎞⎛ 4 ⎞= (−1) ( −1) ( − 1) = = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟11 11 11 111 1 111+ + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠11−1( 1)25( 1) 1= − = − = −+ 1⎛ 365 ⎞Örnek 6.10. ⎜ ⎟ Legendre sembolünün değerini hesaplayalım.⎝1847⎠Çözüm. 1847 asal ve 365=5.73 olduğundan Teorem 6.2. , Teorem 6.3. veKuadratik Resiprosite Teoremini kullanarakyani4 1846 72 1846⎛ 365 ⎞ ⎛ 5 ⎞⎛ 73 ⎞ . 1847 . 18472 2⎛ ⎞2 2⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ( −1) ⎜ ⎟( −1)⎜ ⎟⎝1847 ⎠ ⎝1847 ⎠⎝1847 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 73 ⎠⎛ 365 ⎞⎜ ⎟ = 1 bulunur.⎝1847⎠−1+ 1 + 1(5− 1)(5+1)⎛ 2 ⎞⎛ 22 ⎞ 2 118⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ( −1)⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ 5 ⎠⎝ 73 ⎠ ⎝ 73 ⎠⎝ 73 ⎠72.74 10 72. . 73 48 2 2⎛ ⎞ ⎛ − ⎞= ( −1) ( − 1) ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟⎝ 11 ⎠ ⎝ 11 ⎠11−1⎛ −1⎞⎛ 4 ⎞25= − ⎜ ⎟⎜ ⎟ = −( − 1) = −( − 1) = 1⎝ 11 ⎠⎝11⎠+ 1,⎛ 3 ⎞Örnek 6.11. ⎜ ⎟ = 1 koşulunu gerçekleyen p tek asal sayılarını bulalım.⎝ p ⎠2Çözüm. x ≡ 3(mod p)kongrüansının hangi p asal sayıları için çözümlüolduğunu araştırmalıyız. Kuadratik Resiprosite Teoreminden3−1 p−1 p−1⎛ 3 ⎞ .2 2⎛ p ⎞ p2⎛ ⎞⎜ ⎟ = ( − 1) ⎜ ⎟ = ( −1)⎜ ⎟⎝ p ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠olduğunu biliyoruz.⎛ 3 ⎞⎜ ⎟ = 1 olması için⎝ p ⎠76