SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

β β β1 22 1 2 ... sd = q q q s ( 0 ≤ βi ≤ bi, i = 1,..., s )şeklindedir. Öte yandanα1 α2 αrβ1 β2βs1. 2 =1 2... r 1 2... sd d p p p q q qolup, bu d1d 2 tamsayısı m.n tamsayısının bir pozitif bölenidir. Tersine olarakm.n nin her pozitif d böleni, d1tamsayısı n nin ve d 2 tamsayısı da m nin birpozitif böleni olmak üzere d1 ⋅ d2şeklindedir. Böylece∑ ∑∑ ∑∑( . ) = ( ) = ( ) = ( ) ( )F n m f d f d d f d f d1 2 1 2d| nm d1| n d2| m d1| n d2|melde edilir.∑ ∑( ) ( ) ( ) ( )= f d f d = F n F m1 2 .d1| n d2|mŞimdi bu teoremi kullanarak τ ( n)ve ( n)olduğunu gösterelim. f ( n ) = 1 fonksiyonu çarpımsaldır. Gerçekten ( )ise f ( n. m) 1 1 1 f ( n) . f ( m)f ( n ) = 1 alırsak1 = τ ( n)σ fonksiyonlarının çarpımsalm, n = 1= = ⋅ = elde edilir. Şu halde Teorem 8.3. te∑d|nfonksiyonunun da çarpımsal olduğu bulunur. ( n, m ) = 1 ise f ( n)fonksiyonunun da çarpımsal olduğu gösterilebilir. Böylecefonksiyonu da çarpımsaldır.Teorem 8.4. i) τ ( 1)= 1,∑ ∑( ) = = σ ( )f d d nd| nd|nα α α1 2ii) n pozitif tamsayısının kanonik gösterilişi1 2 ... rn = p p p r iseτ n = α + 1 α + 1 ... α + 1dir.Kanıt. i) τ ( )1 = 1 olduğu açıktır.( ) ( )( ) ( )1 2ii) τ ( n)fonksiyonunun çarpımsal olduğu kullanılarak, indüksiyon ileα( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 α1 2 2 αrα...1 1 α22 αrn = p p pr= p p ... prτ τ τ τ τr= n103