SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

İKİNCİ KISIM1. BÖLÜM. DENKLİK BAĞINTILARI VE DENKLİK SINIFLARI⎧ p ⎫Q , rasyonel sayılar kümesini göstersin. ⎨ : p , q ∈ Z , q ≠ 0⎬kümesinde⎩ q⎭bulunan 2 , 4 , 8 ,... şeklindeki kesirli sayıları göz önüne alalım. Bu sayıların3 6 12hepsi aynı bir rasyonel sayıyı temsil ederler. Böylece,⎡ 2 2 m⎢ ⎤ : m , m 03⎥ = ⎨⎧ ∈ Z ≠ ⎬⎫⎣ ⎦ ⎩3m⎭kümesi tek bir rasyonel sayıyı gösterir. O halde Q rasyonel sayılar kümesiüstünde aşağıdaki bağıntıyı tanımlayabiliriz.Tanım 1.1. “ m nve psayıları aynı bir rasyonel sayı kümesi içindedir ⇔qmq = np ise ” şeklinde tanımlanan bağıntı Q üstünde bir denklik bağıntısıdır.Böylece her rasyonel sayı bir denklik sınıfı olarak görülebilir. Bu tanımıkullanarak örneğin; 1900 1403ve sayılarının aynı bir rasyonel sayıyı temsil4887 3599edip etmediğini anlayabiliriz.Boş olmayan bir S kümesi üstünde bir denklik bağıntısı;∀a, b,c ∈ S için,1) a ∼ a (Yansıma özelliği),2) a ∼ b ⇒ b ∼ a (Simetri özelliği),3) a ∼ b ve b ∼ c ise a ∼ c (Geçişme özelliği)koşullarını gerçekleyen S × S nin alt kümesidir. Eğer bir ( a, b ) sıralı ikilisi, Sde bir “ ∼ ” denklik bağıntısının aynı denklik sınıfına ait ise bunu a ∼ bşeklinde gösteririz. S de bir a elemanının tanımladığı denklik sınıfı[ a] = x ∈ S : a ∼ x{ }biçiminde veya a şeklinde gösterilir. S kümesinin “ ∼ ” şeklinde bir denklikbağıntısı tarafından tanımlanan denklik sınıfları, S kümesinin ayrık altkümeleridir ve bu alt kümelerin hepsinin birleşim kümesi, S kümesine eşittir.a,b ∈ S elemanlarının aynı sınıfta bulunduklarını a ∈ b veya b ∈ a şeklindegösteririz. Bu durumda a ∼ b olduğu açıktır.[ a] = x ∈ S : a ∼ x şeklindeki denklik sınıfları S nin ikişer ikişer ayrık alt{ }kümeleridir ve ∀a ∈ S için a ∈ a olacağından S nin her elemanı en az bir107