SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

ulunur.e) x = n + ρ , 0 ≤ ρ < 1 olsun. n tamsayısını m e kalanlı olarak bölersek, qve r tamsayılar olmak üzeren = mq + r , 0 ≤ r ≤ m − 1yazılabilir. Buradan⎡[ x]⎤ ⎡ mq + r ⎤ ⎡ r ⎤ ⎡ r ⎤⎢ ⎥ = q q qm⎢ = + = + =m⎥ ⎢m⎥ ⎢m⎥⎢⎣⎥⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ve⎡ x ⎤ ⎡ mq + r + ρ ⎤ ⎡ r + ρ ⎤ ⎡ r + ρ ⎤⎢ q q qm⎥ = ⎢ = + = + =m⎥ ⎢m⎥ ⎢m⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦sonuç olarak⎡[ x]⎤ ⎡ x ⎤⎢ ⎥ =m⎢m⎥⎢⎣⎥⎦⎣ ⎦elde edilir.Terorem 8.2. p bir asal sayı ve n bir pozitif tamsayı olsun. Bu takdirdeep | n!koşulunu gerçekleyen en büyük e tamsayısı∞⎡ n ⎤e = ∑ ii=1 ⎢⎣p ⎥(8.1)⎦dir.iKanıt. p ≥ 2 olduğundan i → ∞ için p → ∞ dur. Şu halde yeter derecedebüyük i ler için n < p dir. Buradanin ⎡ n ⎤0 < < 1⇒ 0ii=p ⎢⎣p ⎥⎦bulunur. Bu ise (8.1) deki toplamın gerçekte bir sonsuz seri olmadığınıgösterir. İspatı indüksiyon metodu ile yapalım. n = 1 için iddianın doğruolduğu açıktır. Teoremin ifadesinin n = k − 1 için doğru olduğunu varsayalım.e1 Şu halde p | n!koşulunu gerçekleyen en büyük e 1 tamsayısı∞⎡ k −1⎤e1= ∑ii=1 ⎢⎣p ⎥⎦jolsun. n = k için iddianın doğru olduğunu ispatlayalım. j, p | k koşulunugerçekleyen en büyük tamsayı olsun. k ! = ( k − 1 )!k olduğundan ispatıtamamlamak için98