SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

nKanıt. G { a n }= | ∈ Z devirli bir grup ve g1,g2∈ G olsun. O taktirde,rsg1= a , g2= aolacak şekilde r,s ∈ Z tamsayıları vardır. Böylece,g g = a a = a = a = a a = g gbuluruz, yani G değişmelidir.r s r + s s+r s r1 2 2 1Teorem 6.4. Devirli bir grubun herhangi bir alt grubu da devirlidir.Kanıt. G =< a > devirli bir grup ve H, G nin bir alt grubu olsun. Eğer+H = e ise H eH ≠ e ise bir n ∈ Z için{ }=< > olacağı açıktır. Eğer { }na ∈ H dır. H nın elemanlarının sahip olduğu üsler içerisinde en küçük üs mmolsun. Şimdi iddia ediyoruz ki a = c elemanı H nın bir üretecidir, yanimH =< a >=< c > dir. Bunu gösterebilmek için b ∈ H seçelim. Şimdi b nin cnin bir kuvveti şeklinde yazılabileceğini göstermemiz gerekir. b ∈ H isenb ∈ G dir, dolayısıyla b = a olacak şekilde bir n ∈ Z vardır. Bölmealgoritması ile n = mq + r , 0 ≤ r < m olacak şekilde q ve r tamsayıların mq+r m q rr m −q nbulunabilir. Şu halde a = a = ( a ) a veya a = ( a ) a yazabiliriz vernböylece a ∈ H bulunur. Diğer taraftan kabulümüze göre m, a ∈ H olacakşekilde en küçük üs idi. O halde 0 ≤ r < m olduğundan r = 0 olmakn m qmzorundadır. Bu durumda b = a = ( a ) buluruz ki, bu b nin a = c nin birkuvveti şeklinde yazılabileceğini gösterir. Dolayısıyla {( m qH = a ) | q ∈ Z }elde etmiş oluruz, yani G nin H alt grubu da devirlidir.Teorem 6.5.1) Sonsuz mertebeli herhangi iki devirli grup birbirine izomorftur.2) Sonlu mertebeli herhangi iki devirli grup birbirine izomorftur.Kanıt. 1) G sonsuz mertebeli devirli bir grup ve a, G nin bir üreteci, yaniG =< a > olsun. Bu durumda G nin herhangi iki elemanı aynı olamaz. Yanih kbütün elemanları birbirinden farklıdır. h > k olmak üzere a = a olduğunuh −k h−kmkabul edelim. O halde, a a = a = e , h − k > 0 yazabiliriz. a = e olacakşekilde en küçük pozitif tamsayının m olduğunu varsayalım. O zaman G nin1 2 m 1e, a , a ,..., a − nelemanlarının hepsi birbirinden farklı olurdu. Eğer a ∈ G isebölme algoritması ile n = mq + r , 0 ≤ r < m olacak şekilde q ve r tamsayılarıbulunabilir. Böylece,n ( m ) q r ra = a a = a ve 0 ≤ r < m olduğundan G sonlu= esayıda elemana sahip olur. Bu ise G nin mertebesinin sonsuz oluşu ile çelişir.h kO halde a = a kabulümüz yanlıştır, dolayısıyla G nin bütün elemanlarıbirbirinden farklıdır.143