SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Örnek 6.1. ( G ,.) bir grup ve A ⊆ G olsun. O taktirde,dir.n1 n2{ ... n p+, , }1 2 pZi iZ< A >= a a a | p ∈ a ∈ A n ∈n1 n n2Çözüm. { 1 2...p+p,i,i }a a a | p ∈ Z a ∈ A n ∈ Z = S diyelim. S ≠ ∅ veS ⊆ G olduğu açıktır. Buna göre S =< A > olduğunu göstermeliyiz.x,y ∈ S olsun.içinveiçinyazılabilir. Buna göre,+∃p∈ Z , ∃n1 , n2,..., np∈ Z , ∃a1 , a2,..., ap∈ An1 n n2p1 2...x = a a a p+∃q∈ Z , ∃m1 , m2,..., mq∈ Z , ∃b1 , b2,..., bq∈ Am1 m m2 q1 2...y = b b b q−1 n1 n n2 p m1 m m2 q −1= (1 2...p)(1 2...q)xy a a a b b b1yazılabileceğinden xy− ∈ S dir. Şu halde S, G grubunun bir alt grubudur.Üstelik, S alt grubu A yı kapsayan alt grupların en dar olanıdır. Gerçekten, A yınikapsayan bir diğer T alt grubunu alırsak, ∀a∈ A için a ∈ T olacağındann1 n n2p1 2...pa a a ∈ T elde edilir. Dolayısıyla S ⊆ T dir.Teorem 6.2. ( G ,.) grubu, n. mertebeden bir grup ve bir a ∈ G için G =< a >olsun. Bu taktirde, < a >= G grubu da n. mertebedendir.mmKanıt. 0 < m < n ve m ∈ Z alalım. a ≠ e dir. Çünkü a = e olsa: k ∈ Zolmak üzere k = mq + r , 0 ≤ r < m olacak şekilde q ve r tamsayılarıbulunabilir ve bu durumda,k mq r m q r q r ra = a + = ( a) a = e a = ayazılabilir. Böylece,= e0 1 2 m 1{ , , ,..., }ra ∈ a a a a −olur ki, bu G nin en çok m elemanlı olmasını gerektirir. Bu ise G ninmmertebesinin n olması ile çelişir. Öyle ise 0 < m < n için a ≠ e dir. Diğertaraftan,0 1 2 na , a , a ,..., aelemanlarının G nin birbirinden farklı elemanları ve 0 < i < j < n içinolduğunu varsayalım. Bu durumdaiiai= aj141