SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

{ , }HK = hk | h ∈ H k ∈ Kkümesi G nin bir alt grubu değildir. HK nın bir alt grup olabilmesi için ya Gnin kendisi değişmeli olmalıdır veya HK = KH olmalıdır. Çünkü, eğerh1 k1,h2 k2∈ HK ise ( h1 k1)( h2 k2) ∈ HK olmalıdır. G nin kendisi değişmeliveya HK = KH ise[( h1 k1) h2 ] k2 = [ h1 ( k1h2 )] k2 = [ h1 ( h2k1 ) k2 ] = ( h1 h2 )( k1k2) ∈ HKelde ederiz. Diğer taraftan, aynı koşul altında, e ∈ H , K olduğundanee = e ∈ HK ve hk ∈ HK ise−1 −1 −1 −1 −1( hk)= k h = h k ∈ HKbuluruz.Tanım 7.3. H ve K , bir G grubunun iki alt grubu olsun. G nin HK yı kapsayanbütün alt gruplarının arakesitine H ve K alt gruplarının birleşimi denir veH ∨ K şeklinde gösterilir. H ∨ K kümesi HK yı kapsayan en dar alt gruptur.Eğer G grubu değişmeli veya HK = KH ise o zaman HK = H ∨ K dır.Üstelik, h = he ve k = ek yazılabileceğinden H ⊆ HK ve K ⊆ HK veyaH ≤ HK ve K ≤ HK yazılabilir. Böylece, H ≤ H ∨ K , K ≤ H ∨ K dır.Örnek 7.5. G bir grup, H ve K da G nin iki alt grubu olsun. HK nın G nin biralt grubu olabilmesi için gerek ve yeter koşul, HK = KH olmasıdır.Çözüm. Gereklik: HK ≤ G ise HK = KH dır :−( ) 1HK ≤ G ⇒ HK = HK , yaniolduğundanH− 1= veHK−1 −1HK = K H dir. Öte yandan H , K ≤ G− 1−= K dir. Şu halde 1 − 1K HYeterlik: HK = KH ise HK ≤ G dir :HK nın alt grup koşullarını gerçeklediğini gösterelim.1) H ≤ G ⇒ HH = H grupta kapalılık özelliğindenK ≤ G ⇒ KK = K( )( grupta kapalılık özelliğinden )HK = K H = KH dır.olduğundan( HK )( HK ) = H ( KH ) K = H ( HK ) K = ( HH )(KK) = HKdır.2) H , K ≤ G olduğundanbulunur. 1) ve 2) denelde edilir.HK H KH− 1= veH−1 −1 −1( ) KHK− 1= dir. Şu haldeKhipotezHK = K H = KH = HKHK≤ G156