SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

sf ( x) = ( b + ... + b x )( c + ... + c x )r0 r 0şeklinde yazılabildiğini varsayalım. a0 ≢ 0(mod p)olduğundanb0 ≢ 0(mod p), c0 ≢ 0(mod p)olur. Aksi taktirde, b0 ≢ 0(mod p)vec0 ≡ 0(mod p)olsun. an = br csolduğundan an≢ 0(mod p)varsayımından≢ 0(mod p), c ≢ 0(mod p)brolmak zorundadır. ck≢ 0(mod p)olacak şekildeki en küçük k sayısına mdersekam = b0cm + b1c m−1 + ... + bm −ici, 0 ≤ i ≤ myazabiliriz.b0 ≢ 0(mod p), cm≢ 0(mod p)vec ≡ m−1 0(mod p), cm−2 ≡ 0(mod p), ..., ci≡ 0(mod p)olması nedeniyleam≡ 0(mod p)buluruz ki, bu m = n olmasını gerektirir. Buradan s = n sonucuna varırız ki,bu sonuç s ≤ n oluşuna aykırıdır. Dolayısıyla f ( x ) in yukarıdaki gibiçarpanlarının olması mümkün değildir yani, f ( x ) polinomu Q [ x]deindirgenemezdir.Sonuç 13.4. p asal sayısı için,px −1p−1 p−2φp( x) = = x + x + ... + x + 1x −1şeklindeki polinom Q da indirgenemez bir polinomdur.Kanıt. Bu polinomu Z [ x]de çarpanlarına ayırmaya çalışalım.pp−1xp ⎜ ⎟ x px( x + 1) −11p−1 ⎛ p ⎞ p−2p( 1) ( )⎝ ⎠...s⎛ p ⎞+ +φ x + = g x = = = x + ⎜ ⎟ x + + p( x + 1) −1x⎝ 1 ⎠yazabiliriz. Bu bize Teorem 13.6. nedeniyle polinomun Q da indirgenemezbir polinom olduğunu gösterir. Ancak Z [ x]de φ ( x ) = h p( x ) r ( x ) şeklindeçarpanlarına ayrılabilirse bu durumdaφ ( x + 1) = g p( x ) = h ( x + 1) r ( x + 1)ifadesi ile g( x ) in Z [ x]de açık olmayan çarpanlara ayrılmışını elde ederdikki, bu durumda da φ ( x ) , Q da indirgenemezdir.ps222