SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

dir.∞ ⎡ s⎛m⎞⎤= ∑ ⎢∑as−m ⎜∑bjcm−j ⎟⎥xs= 0 ⎢⎣m= 0 ⎝ j=0 ⎠⎥⎦∞ ∞ ∞⎛ i ⎞ ⎡⎛j⎞⎛ k ⎞⎤= ⎜∑ ai x ⎟ ⎢⎜∑bj x ⎟⎜∑ckx ⎟⎥⎝ i= 0 ⎠ ⎢⎣⎝ j= 0 ⎠⎝ k = 0 ⎠⎥⎦⎛⎞ ⎡∞∞ msim= ⎜∑ ai x ⎟ ⎢∑ ⎜∑bjcm−j ⎟ x ⎥i= 0 m= 0 j=0⎛⎝ ⎠ ⎢⎣⎝ ⎠ ⎥⎦⎞⎤Örnek 13.1. Katsayıları, Z tamsayılar ve Q rasyonel sayılar halkalarındanseçilen polinomların Z [ x]ve Q [ x]kümeleri birer polinom halkasıdır. Ancak,katsayılarını Z2den seçtiğimiz Z [ x]2için aşağıdaki sonuçlar ilginçtir.2 2 2( x + 1) = ( x + 1)( x + 1) = x + (1 + 1) x + 1 = x + 1,( x + 1) + ( x + 1) = (1 + 1) x + (1 + 1) = 0x+ 0 = 0.Katsayıları bir H halkasından seçilen polinomların H[ x ] kümesinin birhalka yapısına sahip olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, katsayıları H[ x ]halkasından seçilen y ye göre polinomların halkasını da tanımlayabiliriz ve buhalkayı ( H[ x])[ y] = H[ x, y]şeklinde gösteririz. Bu yeni halkanınpolinomlarını, katsayıları H da olan hem x, hem de y ye göre polinomlarolarak düşünebiliriz. Bu tanımlamaya benzer şekilde H[ y, x ] halkasını datanımlayabiliriz. H[ y, x ] halkası ile H[ x, y ] halkası arasında bir doğalizomorfizmanın tanımlanabileceği kolayca gösterilebilir. Bu düşünceyigenişleterek , x1 , x2,..., xnler tarafından tanımlanan H[ x1 , x2,..., xn] şeklindekipolinom halkalarından bahsedilebilir.Eğer, D bir tamlık bölgesi ise katsayıları D den seçilen polinomlarınkümesi de bir tamlık bölgesi oluşturur. Ancak, F bir cisim ise, katsayıları Fden seçilen polinomların kümesi bir cisim oluşturamaz. Çünkü x ∈ F[ x]içinF[ x ] de bir çarpımsal invers bulamayız, yani F[ x ] de x. f ( x ) = 1 olacakşekilde bir f ( x ) polinomu yoktur. Diğer taraftan, F[ x ] bir tamlık bölgesioluşturacağı için F[ x ] in bölüm cismini tanımlayabiliriz. Bunun için, F[ x ] inher polinomu g( x) ≠ 0 olmak üzeref ( x)g( x)şeklinde iki polinomun bölümüolarak ifade edilebilir. Benzer düşünceyle x1 , x2,..., xnlere göre genelleştirilmişF[ x1 , x2,..., xn] polinom halkasının bölüm cismini de tanımlayabiliriz. Bubölüm cismi, cebirsel geometride önemli bir işleve sahiptir.Şimdi polinom halkalarının homomorfizmalarını ve onların bölümhalkalarının, polinom denklemlerini çözmede nasıl kullanılabileceğini ele213