SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

yaniolarak bulunur.Metod 2: ax b( mod m)( )x ≡ 10 + 17tmod51 , ( t = 0,1,2 )x ≡ 10( mod51), x ≡ 27( mod51), x ≡ 44( mod51)≡ kongrüansında a > 0 ve a < m kabul edebiliriz.Kongrüansın tanımından dolayı ax − b = my olacak şekilde bir y tamsayısıvardır. Bu eşitlikten my b( mod a)kongrüansı çözmek daha kolaydır. my b( mod a)≡ − bulunur. a < m olduğundan bu son≡ − kongrüansının bir y = y0çözümü biliniyorsa, ax − b = my de y yerine y0yazılarakmy0+ bx =aax ≡ b mod m kongrüansının çözümüdür. Öte yandanbulunur ki, bu da ( )my b( mod a)≡ − kongrüansına da aynı düşünce uygulanarak, çözümükolaylıkla bulunabilen bir kongrüans elde edilir ve böylece ilk kongrüansçözülür.Örnek 4.7. 7x ≡ 2( mod17)kongrüansının çözümünü bulalım.Çözüm. 7x ≡ 2( mod17)ise y ∈ Z olmak üzere 7x2 17Buradan( ) y ( )⇒ 6y≡ −4( mod 7) ⇒ y ≡ 4( mod 7)17y≡ −2 mod 7 ⇒ 3 ≡ − 2 mod 7bulunur. y = 4 alınırsa7x − 2 = 17.4 ⇒ 7x = 70 ⇒ x = 107 2 mod17− = y yazabiliriz.elde edilir. Şu halde x ≡ ( ) kongrüansının çözümü x ≡ 10( mod17)dir.Teorem 4. 4. (Çin Kalan Teoremi) m1 , m2,..., mrpozitif tamsayılar ve heri ≠ j için ( mi, mj ) = 1 olsun. a1, a2,..., a rtamsayıları verildiğindei( mod )x ≡ a m , ( i = 1,2,..., r ) (4.2)ikongrüanslarının ortak çözümleri vardır ve herhangi iki ortak çözümmod( m . m ... m ) birbirine kongrüdür.1 2r46