SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Örnek 11.5. p bir asal sayı ise Zpbir tamlık bölgesidir. Bu durumdaZ2, Z3, Z5,...tamlık bölgesi örnekleri oluşturur.Örnek 11.6. Tam sayılarına ⊕ b = a + b − 1, a ⊙ b = a + b − abşeklinde tanımlanan “ ⊕ ” ve “ ⊙ ” işlemlerine göre ne tür bir cebirsel yapıoluşturduğunu araştıralım.Çözüm. ı) Her a,b ∈ Z için a ⊕ b = a + b −1∈ Z dir.ıı) Her , ,a b c ∈ Z için ( a b) c a ( b c)A ( a b) c ( a b ) c ( a b ) cB a ( b c) a ( b c ) a ( b c )⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ dir. Çünkü= ⊕ ⊕ = + −1 ⊕ = + − 1 + − 1= ⊕ ⊕ = ⊕ + − 1 = + + −1 − 1olduğundan Z nin temel özelliklerinden A = B dir.ııı) Her a,b ∈ Z içina ⊕ b = a + b − 1 = b + a − 1 = b ⊕ aZ," + "kom.dir .ıv) Her a ∈ Z için x ⊕ a = a olacak şekilde bir x ∈ Z vardır.x ⊕ a = a ⇒ x + a − 1 = a ⇒ x = 1∈ Z .Şu halde 0Z = 1 dir.v) Her a ∈ Z ye karşılık**a ⊕ a = 1 olacak şekilde bir a ∈ Z vardır.* * *a ⊕ a = 1 ⇒ a + a − 1 = 1⇒ a = 2 − a ∈ Z .vı) Her a,b ∈ Z için a ⊙ b = a + b − ab ∈ Z dir.vıı) Her , ,a b c ∈ Z için ( a ⊙ b) ⊙ c = a ⊙ ( b ⊙ c)dir. Çünkü( ⊙ ) ⊙ ( ) ⊙ ( ) ( )⊙ ( ⊙ ) = ⊙ ( ) ( ) ( )C = a b c = a + b − ab c = a + b − ab + c − a + b − ab cD = a b c a b + c − bc = a + b + c − bc − a b + c − bcolduğundan Z nin temel özelliklerinden C = D dir.vııı) Her a,b ∈ Z için a ⊙ b = b ⊙ a dir. Çünkü Z , “ + “ ya görekomütatif olduğundana ⊙ b = a + b − ab = b + a − ba = b ⊙ adir.ıx) Her , ,a ⊙ b ⊕ c = a ⊙ b ⊕ a ⊙ c dir. Çünküa b c ∈ Z için ( ) ( ) ( )= ⊙ ( ⊕ ) = ⊙ ( + − 1) = + ( + −1) − ( + −1)= ( ⊙ ) ⊕ ( ⊙ ) = ( + − ) ⊕ ( + − )= ( a + b − ab) + ( a + c − ac)−1E a b c a b c a b c a b cF a b a c a b ab a c ac198