SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

d = md.t ( d1> 0 , md > 0 ) olacak şekilde t 1> 0 tamsayısı vardır. Şimdi1 111t = olduğunu gösterelim.dt1Bunu d1 md.t1d1 = ( ma, mb)⇒ d1| ma , d1 | mb ⇒ mdt1| ma , mdt1| mb⇒ dt1| a , dt1| b .m≠0O halde dt1tamsayısı, a ile b nin bir ortak bölenidir ve ( a, b)= d olduğundan| d dir. Böylece d > 0 , dt1> 0 ve dt1| d olduğundan t1= 1 elde ederiz.= de yerine yazarsak d1( ma, mb) = m( a, b)olduğunu kanıtlar.= md buluruz ki bu,Uyarı: Genel olarak m, a,b ∈ Z ve m ≠ 0 ise ( ma, mb) =| m | ( a, b)dir.a b 1Teorem 1.5. d | a , d | b ve d>0 ise ( , ) = ( a, b)dir.d d dKanıt. d | a ve d | b olduğundan a = da1ve b = db1olacak şekilde a1 , b1∈ Ztamsayıları vardır. O halde, Teorem 1.4. tena b( a, b) = ( da1 , db1 ) = d( a1 , b1) = d( , ) d dyazarız, böylecea b( a, b) = d( , ) d delde ederiz.a bSonuç: ( a, b) = g ⇒ ( , ) = 1 dir.g g⇒d ≠0a b 1( , ) = ( a, b)d d dTanım 1.7. ( a, b ) = 1 ise a ve b tamsayılarına aralarında asaldır deriz.Örneğin; (7,11) = 1 olduğundan 7 ve 11 aralarında asaldır.Teorem 1.6. ( a, m ) = 1, ( b, m ) = 1 ise ( ab, m ) = 1 dir.Kanıt. ( a, m ) = 1, ( b, m ) = 1 olduğundan Teorem 1.2. ye göre ax0 + my0 = 1ve bx1 + my1 = 1 olacak şekilde x0 , y0ve x1 , y1tamsayıları vardır. Buradan,( ax + my )( bx + my ) = abx x + m( ax y + bx y + my y ) = 10 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1ve x0 x1= A∈ Z , ax0 y1 + bx1 y0 + my0 y1= B ∈ Z dersek, abA + mB = 1 eldeederiz. ( ab, m)= d olsun. Böylece, d | ab , d | m ve abA + mB = 1olduğundand | ( abA + mB) ⇒ d | 1 ⇒ d = 15