SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Kanıt. m = m1. m2... mrolsun. m1 , m2,..., mrtamsayıları ikişer ikişermaralarında asal oldğundan ( , mj) = 1, ( j = 1, 2,..., r ) dir. Şu haldemTeorem 4.1. e görejm x ≡ 1( mod m j ) ( 1, 2,...,m j = r )jkongrüansları çözülebilirdir. 1( mod m j )( modj )≡jile gösterelim.0x b mj=1m x ≡ kongrüansının çözümünümjx tamsayısınırmx0= ∑ bjajmolarak tanımlarsakrm mx0≡ b a ≡ b a ≡ a mm mj∑ j j i i i ( modi ) ( i 1,2,...,j=1 j i= r )bulunur ki, bu x0tamsayısının (4.2) deki kongrüansların bir ortak çözümüolduğunu gösterir. x , 1x2tamsayıları (4.2) deki kongrüansların iki ortakçözümü olsun. Şu haldex1≡ ai( mod mi)( i = 1,2,..., r )x ≡ a mod m2i( )iolup, bu iki bağıntıdanx1 ≡ x2 ( mod m i ) ( i = 1,2,..., r )ve Örnek 3.5. e görex1 ≡ x2 ( mod[ m1 , m2,..., m r])bulunur. mitamsayıları ikişer ikişer aralarında asal olduğundan[ m1 , m2,..., mr] = m olur. Buradan( )x1 ≡ x2 mod melde edilir ve ispat tamamlanır.Teoremin ikinci kısmından dolayı (4.2) deki kongrüans sisteminin bütünx ≡ x0 mod m şeklindedir.tamsayılı çözümleri ( )47