SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

15. BÖLÜM. VEKTÖR UZAYLARIDüzlemdeki vektörleri paralelkenar kuralına göre toplayabildiğimiz gibi birvektörü bir sayı ile çarparak bir diğer vektör elde edebiliriz. Vektör toplamı vesayı-vektör çarpımı adını vereceğimiz bu işlemlerin sağladığı cebirselözellikleri genelleştirmek suretiyle vektör uzayı adını vereceğimiz bir cebirselyapı tanımlayabiliriz. Burada ele alacağımız sayılar gerçel sayılar cismine aitolabileceği gibi diğer cisimler için de bu tanımlamaları yapmak söz konusudur.Tanım 15.1. F cismi üzerinde bir vektör uzayı (lineer uzay ), elemanlarıvektör toplamı ve skaler-vektör çarpımı adını vereceğimiz iki işleme göreaşağıdaki özellikleri gerçekleyen bir V kümesidir:1) Vektör toplamı işlemine göre V, değişmeli bir gruptur,2) Herhangi bir λ ∈ F ve a,b ∈ V için λ( a + b)= λa + λb,3) λ , µ ∈ F ve a ∈ V için ( λ + µ )a = λ a + µ a ,4) λ , µ ∈ F ve a ∈ V için ( λµ ) a = λ ( µ a),5) Herhangi bir a ∈ V için 1a = a dır.nÖrnek 15.1. Bir F cismine ait elemanların sıralı n-lilerinin F kümesiaşağıdaki işlemlerle birlikte F cismi üzerinde bir vektör uzayıdır;( a , a ,..., a ) + ( b , b ,..., b ) = ( a + b , a + b ,..., a + b ) ,1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n nλ( a , a ,..., a ) = ( λa , λa ,..., λa) .1 2 n1 22 3Bu örneğe göre 2 ve 3 boyutlu Öklid uzayları E , E ve n boyutlu Öklidnuzayı E ; R reel sayılar cismi üzerinde vektör uzayı örnekleridir.Örnek 15.2. Bir X kümesi üstünde tanımlanan ve değer kümesi herhangi bir Fcismi olan bütün fonksiyonların I ( X ; F)kümesi, aşağıda verilenfonksiyonların toplama ve sayı ile çarpımı işlemlerine göre bir vektör uzayıdır;( f + g)( x) = f ( x) + g( x), ( λ f )( x) = λ f ( x); λ ∈ F, x ∈ X.Örnek 15.3. K, bir F cisminin alt cismi olsun. F deki birinci işlemi vektörtoplamı ve K nın elemanları ile F nin elemanlarının F deki ikinci işleme göreçarpımını da sayı-vektör çarpımı olarak tanımlarsak, F yi K cismi üzerinde birvektör uzayı olarak tanımlayabiliriz. Buna göre kompleks sayılar kümesi reelsayılar kümesi üstünde bir vektör uzayıdır.Tanım 15.1. kullanılarak vektör uzaylarının aşağıdaki özelliklerini kolaycakanıtlayabiliriz. Burada cisme ait sıfır elemanını normal şekilde, vektöruzayının sıfır vektörünü ise vektör işaretli olarak yazacağız.n241