SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

25 ile bağlantılı elemanları 25 ve -25 dir. Çünkü, 25 = 25.1 ve 25 = (-25)(-1)dir.Tanım 13.9. D bir tamlık bölgesi ve p de D nin aritmetik birim olmayan birelemanı olsun. Eğer a,b ∈ D için p = ab olduğunda a veya b bir aritmetikbirim ise bu durumda p ∈ D ye bir indirgenemez eleman (asal eleman) adıverilir.O halde indirgenemez bir elemanla bağlantılı olan bir elemanın daindirgenemez olacağı açıktır.Tanım 13.10. Aşağıdaki koşulları gerçekleyen bir D tamlık bölgesine bir tektürlü asal çarpanlara ayrılış bölgesi (unique factorization domain) adı verilir;a) D nin sıfırdan farklı, aritmetik birim olmayan her elemanı sonlu sayıdaindirgenemez elemanların çarpımı olarak yazılabilir.b) D de bir eleman p ... 1p2 prve q ... 1q2 qsşeklinde farklı iki şekildeindirgenemez elemanların çarpımı olarak yazılabiliyor ise bu durumda r = sdir ve qileri yeniden indislemek suretiyle piler ile qiler bağlantılı olacakşekilde yeniden sıralanabilirler.Örnek 13.8. F bir cisim ise F[ x ], bir tek türlü asal çarpanlara ayrılışbölgesidir. Benzer şekilde Z de bir tek türlü asal çarpanlara ayrılış bölgesidir,çünkü 24 ∈ Z için24 = 2.2.3.2 = ( −2).( − 3).2.2dir. Bu durumda 2 ile -2 nin ve 3 ile -3 ün bağlantılı olduğu görülür.Tanım 13.11. Bir D tamlık bölgesinin her ideali bir asal ideal ise bu durumdaD ye bir asal ideal bölgesi adı verilir.Teorem 13.11. Her asal ideal bölgesi bir tek türlü asal çarpanlara ayrılışbölgesidir ve eğer D bir tek türlü asal çarpanlara ayrılış bölgesi ise bu durumdaD[ x ] de bir tek türlü asal çarpanlara ayrılış bölgesidir.Teorem 13.12. D bir asal ideal bölgesi ise D nin sıfır olmayan her aritmetikbirimi indirgenemez elemanların bir çarpımı olarak yazılabilir.Teorem 13.13. Bir asal ideal bölgesinin, bir ≺ p ≻ idealinin maksimal idealolması için gerek ve yeter koşul, p nin indirgenemez olmasıdır.Teorem 13.14. Bir asal ideal bölgesinin, indirgenemez bir p elemanı içinp | ab ise p | a veya p | b dir.225