SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

kümenin τ ( E)nin bir bazı olabilmesi için bir τ ( x) ∈ τ ( E)elemanını bukümenin bir lineer birleşimi şeklinde yazabilmeliyiz. x ∈ E elemanı içinx = a1 x1 + a2x2 + ... + ar xrolacak şekilde a1 , a2,..., ar∈ F elemanlarını bulabiliriz. Buradan τ yuuygulayarakτ ( x) = τ ( a1 x1 + a2x2+ ... + arxr)ve τ bir homomorfizma olduğundanτ ( x) = τ ( a x ) + τ ( a x ) + ... + τ ( a x )1 1 2 2= τ ( a1 ) τ ( x1 ) + τ ( a2 ) τ ( x2) + ... + τ ( ar) τ ( xr)bulunur ki, bu teoremi kanıtlar.Teorem 14.2. F, E ve K herhangi üç cisim ve F ⊂ E ⊂ K olsun. Bu taktirde( K : F) = ( K : E)( E : F)dir.Kanıt. E nin F üzerindeki derecesini göz önünde bulundurmak koşulu ile{ x1 , x2,..., xr} ⊂ E , E nin F cismi üzerinde lineer bağımsız elemanlarının birkümesi olsun. Diğer taraftan, K nın E üzerindeki derecesi göz önündebulundurularak { y1 , y2,..., ys}⊂ K , K nın E cismi üzerinde lineer bağımsızelemanlarının bir kümesi olsun. i = 1,2,..., r , j = 1,2,..., s olmak üzere{ i j}x y şeklindeki elemanlar K nın rs elemanlı bir alt kümesini oluştururlar. Bukümenin F cismi üzerinde lineer bağımsız bir küme olduğunu göstermeliyiz.Yani,rs∑∑i= 1 j = 1a x yij i j= 0olmasının ancak ve ancak ∀ i,j için a = 0 olması halinde mümkünolabileceğini göstermeliyiz. Bunun içinr s r r∑∑ ∑ ∑a x y = ( a x ) y + ... + ( a x ) y = 0ij i j i1 i 1is i si= 1 j = 1 i= 1 i=1yazabiliriz. y1, y2,..., ysler K nın E üzerinde lineer bağımsız elemanlarıolduğundan E nin elemanları olan s tane katsayıyıO halde j = 1,2,..., s olmak üzere her j içinijrrr∑ aijxi= 0 olarak buluruz.i=1a1 x1 + a2 x2 + ... + a x = 0j j rj r234