SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

dir.2( 2574)( 368) 2 ( 2574) 2 ( 368) 2( 27)( 45)( 386)T = ⎡⎣⎤⎦ = =,3( 18)( 26)( 3475) 3 ( 18) 3 ( 26) 3 ( 3475) 3( 18)( 26)( 3574)U = ⎡⎣⎤⎦ = =,1 1( ) ( 1526384) ( 1483625)− = = = ,2 2S S − −2 3 2ST U S − ==( 1358246)( 27)( 45)( 386)( 18)( 26)( 3574)( 1483625)( 12437865)Tanım 4.7. γn, n elemanlı bir S kümesinin permütasyonlarının kümesi olmaküzere, γnnin çift ve tek permütasyonlarının kümesini sırası ile Anve Bnilen!gösterirsek, Anve Bnnin her birinin tane elemanının olduğunu görürüz.2Buradaki A grubuna alterne grup adı verilir.nYukarıdaki tanımda geçen iddiayı kanıtlamak için γnde sabit birτ = (1,2) transpozisyonu seçelim. Bu transpozisyonu içeren aşağıdakidönüşümü tanımlayalım. Bu dönüşümün bire-bir ve örten olduğunu kanıtlarsakn!Anve Bnnin her birinin tane elemanının olduğunu kanıtlamış oluruz:2f : A → τ nBn, fτ ( σ ) = τσ ,σ , µ ∈ Anolsun. fτ( σ ) = fτ( µ ) olduğunu kabul edelim. O halde τσ = τµelde ederiz ve buradan γngrup olduğundan sol sadeleştirme kuralı ile σ = µbuluruz, yani f τbire-birdir. f τnun örten olduğunu göstermek için ρ ∈ Bn1seçelim. τ = (1,2) = τ −−1olduğundan τ ρ ∈ dir. O halde,yazılabileceğinden ρ nunA n1f τ( τ ρ) 1τ ( τ ρ) 1( ττ ) ρ ρ= = =τ−1ρ ∈ elemanının resmi olduğunu buluruz,A nn!dolayısıyla f τörtendir. O halde Anve Bnnin eşit ve tane elemana sahip2olduklarını elde ederiz. Sonuç olarak γnnin elemanlarının yarısı tek, yarısı daçift permütasyon olmaktadır.Örnek 4.8. γ 18 de133