SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

= + ∈ Q kümesinin, C deki " + " ve " ⋅ "Örnek 10.4. K { a b 3 i a,b }işlemlerine göre ne tür bir cebirsel yapı olduğunu araştıralım.Çözüm. Her a + b 3 i, c + d 3i ∈ K çifti için( ) ( ) ( ) ( )a + b 3i − c + d 3i = a − c + b − d 3 i ∈ K, ∈Q∈Q( ) ( ) ( ) ( )a + b 3 i . c + d 3i = ac − 3bd + ad + bc 3i ∈ K ∈Q∈Qolduğundan Önerme 10.1. e göre K, C nin bir alt halkasıdır ve C de geçerliolan komütatiflik, K da da geçerlidir. Diğer yandan, C deki sıfır-a + b 3 i, c + d 3i ∈ K − 0 içinbölensizlikten dolayı her { }dır. Ayrıca, her a b 3i K { 0}dır, çünkü( a + b 3 i ).( c + d 3 i ) ∈ K − { 0}+ ∈ − için1 a b= − 3i∈ K − 02 2 2 2a + b 3ia+ 3b a+ 3b∈Q∈Q⎧2 2+ ≠a 3b0⎪a + b 3i ≠ 0 ⇒ a ≠ 0 ∨ b ≠ 0 ⇒ ⎨ a b⎪ ≠ 0 ∨ ≠ 02 2 2 2⎩ a + 3b a + 3bdır. Şu halde ( K , + ,.) bir komütatif cisimdir.Tanım 10.6. Bir cismin kendisinden başka hiçbir alt cismi yoksa bu cisme birasal cisim adı verilir.Teorem 10.3. Her cismin asal bir alt cismi vardır.Kanıt. ( F , + ,.) bir cisim olsun. Bu cismin bütün alt cisimlerinin ailesi de{( F , ,.) i I}i+ | ∈ olsun. A = ∩ Fikümesi, F nin boş olmayan bir alt kümesidir.i∈I∀x,y ∈ A için i ∈ I olmak üzere x, y ∈ Fidir. Filer cisim olduğundan∀i∈ I için−1x + ( −y) ∈ Fi, x. y ∈ Five x ≠ 0 ⇒ x ∈ Fidir. Bu durumda,−1x + ( −y)∈ A , x.y ∈ A ve x ≠ 0 ⇒ x ∈ A{ }189