SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

16. BÖLÜM. CEBİRV kümesi, bir F cismi üzerinde vektör uzayı olmak üzere V üzerindeV × V → V( x, y)→ xyşeklinde tanımlanan çarpma işlemi (cebir işlemi)i. ∀x, y ∈V , ∀λ∈ F için ( λx) y = x( λ y) = λ( xy),ii. ∀x, y,z ∈ V için ( x + y)z = xz + yz , x( y + z)= xy + xzkoşullarını sağlıyorsa V ye bir cebir adı verilir. Bu tanıma göre V nin F cismiüstünde bir cebir yapısı oluşturması için V üstündeki toplama, çarpma ve F ninelemanları ile V nin elemanlarının çarpımı işlemleri aşağıdaki koşullarıgerçeklemelidir;1) V, toplama ve F nin elemanları ile çarpma işlemleri ile bir vektör uzayıolmalı,2) V, toplama ve çarpma işlemleri ile bir halka olmalı,3) ∀ x,y ∈ V , ∀λ∈ F için ( λx) y = x( λ y) = λ( xy)olmalıdır.Tanım 16.1. V bir cebir olsun. Eğer ∀x, y,z ∈ V için ( xy) z = x( yz)koşuluda sağlanıyorsa V ye bir birleşmeli cebir ; ∀x,y ∈ V için xy = yx koşulusağlanırsa V ye bir değişmeli cebir ; ∀x ∈ V için xe = ex = x koşulunusağlayan bir e ∈Vbirim elemanı bulunabiliyorsa V ye bir birimli cebir adıverilir.Tanım 16.2. V ve W herhangi iki cebir olsun. Eğer ϕ :V → W lineerdönüşümü ∀x, y,z ∈ V içinϕ( xy) = ϕ( x) ϕ( y)koşulunu gerçekliyor ise ϕ ye bir cebir homomorfizması adı verilir. Eğer ϕhomomorfizması bire-bir ve üzerine ise bir cebir izomorfizması adı verilir.V ve W herhangi iki birimli cebir olsun. e1 ∈V , e2∈ W birim elemanlarolmak üzere ϕ :V → W homomorfizması üzerine ise bu durumda ϕ ( e1 ) = e2dir. Gerçekten, ϕ üzerine olduğundan verilen herhangi bir y ∈ W elemanı içinϕ ( x)= y olacak şekilde bir x ∈ V elemanı bulunabilir. O haldey = e y = ϕ( e ) ϕ( x) = ϕ( e x) = ϕ( x)2 1 1olduğundan e2 = ϕ( e1) , W nin birim elemanıdır.250