SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

O halde Teorem 9.13. e göre G ≅< a > ∨ < b > izomorfizması vardır. Sonuçolarak, < a > ∨ < b > grubu değişmeli olduğundan bu gruba izomorf olan Ggrubu da değişmelidir.Teorem 9.15. H ve K, bir G grubunun sonlu mertebeli iki alt grubu ise butaktirdeH KHK =H ∩ Kdir.Kanıt. H= r , K = s , H ∩ K = t olsun. HK nın en çok rs elemana sahipolacağı açıktır. Eğer bazı h1 , h2∈ H ; k1,k2∈ K elemanları için h1 k1 = h2k2−1 −1koşulu gerçekleniyor ise x = ( h ) h = k ( k ) dersek x ∈ H ve x ∈ K olur2 1 2 1ki, bu x ∈ H ∩ K olması demektir.−12 1 2 1x = ( h ) h ise h = h x ve−1 −12 1 2 1x = k ( k ) ise k = xk yazabiliriz. Diğer taraftan y ∈ H ∩ K için−1h3 = h1 y , k3 = yk1ise bu durumda h3∈ H ve k3∈ K olmak üzereh3k3 = h1 k1buluruz. O halde, HK nın herhangi bir hk elemanı hi∈ H veki∈ K olmak üzere hi kişeklinde t defa yazılabilmektedir. Bu bizeH KHK = olduğu sonucunu verir.H ∩ KPROBLEMLER1) i { 1, 2, 3,..., n}∀ ∈ için ( Gi,.) bir grup ve G = G1 × G2 × ... × Gnolsun. Butakdirde her bir i için G den Giye bir φihomomorfizmasınıntanımlanabileceğini gösteriniz.+2) φ : ( R ,.) → ( R , + ), φ( x) = ln x şeklinde tanımlanan dönüşümün birhomomorfizma olduğunu gösteriniz.ixφ : ( R , ) ( R 0 ,.) , φ ( x) = e = cos x + i sin x dönüşümünün bir3) + + → −{ }homomorfizma tanımladığını gösteriniz ve çekirdeğini bulunuz.4) φ : G → H dönüşümü bir grup izomorfizması isebir grup izomorfizması olduğunu gösteriniz.1φ −ters dönüşümünün de184