SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

( φϕ)( m, n) = φ( ϕ( m, n)) = φ(0, n) = ( n,0),( ϕφ)( m, n) = ϕ( φ( m, n)) = ϕ( m + n,0) = (0,0)olduğundan φϕ ≠ ϕφ dir. Böylece Z×Z nin endomorfizmalarının kümesi,değişmeli olmayan bir halka yapısı oluşturur.Örnek 10.6. ( H , + ,.) halkası verilsin. Eğer ∀x ∈ H için x.x = x koşulusağlanıyorsa H ya Boole halkası adı verilir.nTanım 10.8. H değişmeli bir halka ve a ∈ R olsun. a = 0 olacak şekilde birn ∈ Z tamsayısı varsa a ya sıfırıncı kuvvettendir deriz.Tanım 10.9. H birimli bir halka olmak üzere H nın sıfırdan farklı herelemanının H da bir çarpımsal inversi varsa H ya bir yarı-cisim adı verilir.( R , + ) toplamsal grup olmak üzere Q = R × R × R × R kuaternionlarkümesini göz önüne alalım. Önce Q nun elemanlarını tanımlayalım. Bununiçin1 = (1,0,0,0) , i = (0,1,0,0) , j = (0,0,1,0) , k = (0,0,0,1)olmak üzere,a1 = ( a1,0,0,0) , a2i= (0, a2,0,0), a3 j = (0,0, a3,0), a4k= (0,0,0, a4)gösterimini yapalım. Buna göre Q ya ait bir ( a1 , a2, a3, a4) elemanını( a1 , a2, a3, a4 ) = a1 + a2i + a3 j + a4kşeklinde gösteririz. Q daki toplama işlemi,( a + a i + a j + a k) + ( b + b i + b j + b k) = ( a + b ) + ( a + b ) i + ( a + b ) j + ( a + b ) k1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4şeklinde tanımlanır. Q daki çarpma işlemi ise a ∈ Q içinolmak üzerei.k1. a = a.1ve i 2 = j 2 = k2 = − 1= j , j.k= i , j.i= − k , k.j= − i , i.k= − jolarak tanımlanır. Bunları dikkate alarak Q daki çarpma işlemi( a + a i + a j + a k)( b + b i + b j + b k)1 2 3 4 1 2 3 4= ( a b − a b − a b − a b ) + ( a b − a b − a b − a b ) i1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 2 1 3 4 4 3+ ( a b − a b − a b − a b ) j + ( a b − a b − a b − a b ) k1 3 2 4 3 1 4 2 1 4 2 3 3 2 4 1192