SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

vektör sayısından bir eksiktir. Bu şekilde devam edersek sonuçta lineerbağımsız ve V yi geren yani V nin bir bazını oluşturan bir kümeye ulaşırız.Teorem 15.7. Sonlu boyutlu bir vektör uzayının bütün bazları aynı sayıdavektöre sahiptir. Bu sayıya V nin boyutu deriz ve boyV şeklinde gösteririz.Kanıt. V nin farklı sayıda vektöre sahip iki bazının var olduğunu kabul edelim.Bu durumda Teorem 15.5. e göre daha fazla sayıda vektöre sahip olan bazınvektörleri lineer bağımlı olur, bu ise baz tanımına aykırıdır. Çünkü bir vektöruzayının bazı lineer bağımsız vektörlerden oluşur.Örnek 15.10. V , F cismi üzerinde bir vektör uzayı ve X, V nin sonlu n-elemanlı bir alt kümesi olsun. X → F şeklindeki bütün fonksiyonlarınkümesini I ( X , F)ile gösterelim. Bu durumda I ( X , F)bir vektör uzayıdır veboyutu n dir. Gerçekten, ∀a,x ∈ X için⎧1,x = aδa( x)= ⎨⎩0,x ≠ aşeklinde tanımlı δ fonksiyonunu göz önüne alalım. Her ϕ ∈ I ( X , F)fonksiyonunuϕ = ∑ ϕ( a) δ aa∈Xbiçiminde ifade edebiliriz. Böylece, ∀a ∈ X için tanımlayabileceğimiz δafonksiyonlarının kümesi ( n elemanlı ) I ( X , F)vektör uzayının bazınıoluşturur. Dolayısıyla boy I = n dir.Eğer X sonsuz elemanlı bir küme ise o zaman her n için I ( X , F), farklıa1 , a2,..., anler içinδ , δ ,..., δ şeklinde sonsuz çoklukta bir baza sahipa1 a2a nolacağından I ( X , F)sonsuz boyutlu olur.Örnek 15.11. R reel sayılar cisminin, Q rasyonel sayılar cismi üzerinde birvektör uzayı yapısına sahip olduğunu biliyoruz. Bu vektör uzayı sonsuzboyutludur. Gerçekten, eğer sonlu boyutlu olmuş olsaydı o zaman her bir reelsayıyı sonlu sayıda rasyonel sayı sayesinde ifade edebilirdik ki, bu durumdareel sayılar kümesi sayılabilir olurdu. Halbuki bu mümkün değildir, çünkü reelsayılar kümesi sayılabilir değildir.Not: Sayılabilir sonsuz elemanlı bir küme,kümedir.+Z ile bire-bir eşlenebilen247