SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

= − | ∈ kümesini göz önüne alalım. S ninKanıt. S { f ( x) g( x) s( x) s( x) F[ x]}en küçük dereceli polinomu r( x ) olsun. Bu durumda bir q( x) ∈ F[ x]içinyazabiliriz. Şimdi der r( x)ct≠ 0 ve her cj∈ F içinf ( x) = g( x) q( x) + r( x)< m olduğunu kanıtlayalım. t ≠ 0 ve t ≥ m ikentr( x) = c0 + c1x + ... + ctxşeklinde olduğunu kabul edelim. Bu durumda, t ≥ m olduğundan⎛ c ⎞t t−m ⎛ c ⎞t t −mf ( x) − q( x) g( x) − ⎜ ⎟ x g( x) = r( x) − ⎜ ⎟ x g( x)(13.1)⎝ bm⎠ ⎝ bm⎠yazılabilir. Burada (13.1) eşitliğinin sağ tarafı,tr( x) − ( ctx + daha küçük dereceli terimler)şeklinde bir polinomdur ve derecesi t den daha küçüktür. Bu durumda (13.1)eşitliğinin sol tarafı⎛ ⎛ c ⎞ ⎞t t −mf ( x) −q( x) − x g( x)⎜ ⎜ ⎟b ⎟⎝ ⎝ m ⎠ ⎠şeklinde yazılabilir ki, bu r( x ) in S deki en küçük dereceli polinom olarakseçilmesi ile çelişir. Şu halde r( x ) in derecesi m den küçük olmak zorundadır.q( x ) ve ( )ver x polinomlarının tekliğini göstermek için f ( )f ( x) = g( x) q ( x) + r ( x), 0 ≤ der r ( x)< m1 1 12 2 2( )x inf ( x) = g( x) q ( x) + r ( x), 0 ≤ der r x < mşeklinde iki türlü gösterimi olduğunu varsayalım. Bu eşitlikleri taraf tarafaçıkarırsak,g( x) q ( x) − q ( x) = r ( x) − r ( x)( )1 2 2 1elde ederiz. r2 ( x) − r1( x)in derecesi, g( x ) in derecesinden küçük olduğundanbu eşitlik ancak ve ancak q1 ( x) − q2( x) = 0 veya q1 ( x) = q2( x)olmasıdurumunda sağlanır. Bu ise r2 ( x) − r1( x) = 0 veya r1 ( x) = r2( x)olmasınıgerektirir. Dolayısıyla q( x ) ve r( x ) polinomları tek türlü belirlidir.Sonuç 13.1. Bir a ∈ F elemanının f ( x) ∈ F[ x]polinomunun bir sıfırı olmasıiçin gerek ve yeter koşul x − a nın f ( x) ∈ F[ x]polinomunun bir çarpanıolmasıdır.Kanıt. a ∈ F için f ( a ) = 0 olduğunu kabul edelim. Bu taktirde Teorem 13.3.den218