SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

x,y ∈ H ⇔ ∀i ∈ I için x ∗ y ∈ Hidir. ∀i ∈ I için ( Hi, ∗ ) grubu, ( G, ∗ )grubunun bir alt grubu olduğundan,−1−1∀i∈ I için x, y ∈ Hi⇔ ∀i ∈ I için x ∗ y ∈ H i⇔ x ∗ y ∈ Helde ederiz. Böylece H, G nin alt grubudur.Örnek 3.5. G = { a + b 2 a, b ∈ ; a ≠ 0 ∨ b ≠ 0 }Q kümesinin R deki “ ⋅ ”işlemine göre komütatif bir grup olduğunu gösterelim.*G ⊂ R − 0 olduğuna göre G nin R − { 0} = R grubunun bir altÇözüm. { }grubu olduğunu göstermek yeter. Şu halde alt grup koşullarını gerçekleyelim.+ + ∈ için ( 2 )( 2 )( a + b )( c + d ) = ( ac + bd ) + ( ad + bc)ı) Her a b 2, c d 2 Ga + b c + d ∈ G dir:2 2 2 2 .a + b 2 ∈G ⇒ a ≠ 0 ∨ b ≠ 0 ⇒ a + b 2 ≠ 0 ⎫⎪ a + b 2 c + d 2 ≠ 0⎫⎪⎬ ⇒⎬c + d 2 ∈G ⇒ c ≠ 0 ∨ d ≠ 0 ⇒ c + d 2 ≠ 0⎪⎭C sıfır-bölensiz ⎪ ⎭dır. Şu halde ( 2 )( 2 )ıı) Her a b 2i G∈Qa + b c + d ∈ G dir.−+ ∈ için ( ) 1 1∈Q( )( )a + b 2 = ∈Gdir:a + b 21 a − b 2 a b= = −2 2 2 2 2 2a + b 2 a − 2b a − 2b a − 2b2 2∈Qa ≠ 0 ∨ b ≠ 0 ⇒ a − 2b≠ 0 dır. Çünkü aBuradan da222 2⇒ ac + 2bd ≠ 0 ∨ ad + bc ≠ 0∈Q2 .− 2b= 0 olsa: 2ba ab ≠ 0 ise: 2 = ⇒ 2 = ∈ Q2b bb = 0 ise: a = 0 ⇒ a = 02 2= a bulunur.2 2bulunur ki, her iki durumda da çelişki elde edilir. Dolayısıyla a − 2b≠ 0olur.aba ≠ 0 ∨ b ≠ 0 ⇒ ≠ 0 ∨2 2 2 2a − 2b a − 2b≠ 0dır. Şu halde1 a b= −2 2 2 2a + b 2 a − 2b a − 2b2 ∈Gdir. Dolayısıyla G,122