SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

elde ederiz. Şimdi, x1 , x2,..., xrler F üzerinde lineer bağımsız olduklarından∈ F elemanlarının hepsi sıfırdır. Böylece i = 1,2,..., r , j = 1,2,..., s olmakaijüzere { i j}x y şeklindeki elemanlar, K nın F cismi üzerinde rs tane lineerbağımsız elemanıdır.Şimdi eğer, ( K : E ) ve ( E : F ) sonsuz ise o durumda ( K : F ) de sonsuzolacağından teorem doğru olur. Eğer ( K : E)= s < ∞ ve ( E : F)= r < ∞ ise,{ x x x } kümesi E nin F üzerindeki bazı ve { }, ,...,r1 2üzerindeki bazı olmak üzere i = 1,2,..., r , j 1,2,..., sy1 , y2,..., ysde K nın E= için { i j}x y şeklindekikümenin de K nın elemanlarının lineer bağımsız bir kümesi olduğunu yukarıdakanıtladık, böylece rs ≤ ( K : F)dir. Şimdi de rs tane xi yjlerin K yıgereceğini gösterelim. Bunun için t ∈ K olsun. b1 , b2,..., bs∈ E olmak üzeret = b1 y1 + b2 y2 + ... + bs ysyazabiliriz. Diğer taraftan aij∈ F olmak üzereb = a x + a x + + a xj 1 j 1 2 j 2...rj rolduğundan bunları yukarıda yerine yazaraktrs= ∑∑i= 1 j=1a x yij i jbuluruz. O halde buradan rs ≥ ( K : F)elde ederiz. Böylece rs = ( K : F)olduğu görülür. Bu ise teoremi kanıtlar.BASİT CİSİM GENİŞLEMELERİE ve F iki cisim olmak üzere E, F nin bir genişlemesi ve S, E nin herhangibir alt kümesi olsun. E nin F ve S yi kapsayan bütün alt kümelerinin arakesitkümesi yine E nin bir alt cismidir , üstelik bu alt cisim F ile S yi kapsayan endar alt cisimdir. Bu alt cismi F( S ) ile gösterelim ve bu cismin elemanlarınıkarakterize eden aşağıdaki teoremi kanıtlayalım.Teorem 14.3. F( S ) nin elemanları, S nin katsayıları F cisminde olan, sonlusayıda elemanının çarpımından oluşan terimlerin bir lineer birleşimininbölümü şeklindedir.Kanıt. Teoremin ifadesinde verilen elemanların kümesini K ile gösterelim. Buelemanlar x, y,...,t ∈ S ve i = 0,1,2,..., r ; j = 0,1,2,..., s için a , b ∈ Folmak üzerea x y ... t + ... + a x y ... t0 0 0 0b x ' y ' ... t ' + ... + b x ' y ' ... t '0 0 0 0r r r rs s s sij235