SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

ααx ≡ aj ( mod p ) ⇒ x = aj+ yp ( y ∈ Z )α + 1 α α + 1f ( x) ≡ 0( mod p ) ⇒ f ( aj+ yp ) ≡ 0( mod p )bulunur. f ( aj+ yp α) yı Taylor serisine açalım.f ′( aj ) f ′′( a )α α jαf ( a ) ( )( ) 2 j+ yp = f aj+ yp + + yp + ...1 2elde edilir. α > 1 olduğundan 2. α > α + 1 olup, Taylor serisindeki ilk ikiterim hariç diğer terimler modülüne göre sıfıra kongrüdür. Böylece1p α +α( ) 0 ( mod α + 1 α 1) ( ) ( ) 0 ( mod α′+j j j)f a + yp ≡ p ⇒ f a + f a yp ≡ p (7.5)bulunur. f ( aj ) 0( mod p α)kongrüansı p α≡ olduğundanile kısaltırsak( j )f ( a j )∈ Z dir. (7.5) dekip αf a+ f ′( aj ) y ≡ 0( mod p)(7.6)p αkongrüansı elde edilir. Burada aşağıdaki gibi iki hal düşünelim.a) ( f ′( a ), p) = 1 ise (7.6) daki kongrüansın tek bir çözümü vardır. Buj≡0mod ile gösterirsek, bu durumdaçözümü y y ( p)1( ) ≡ 0( mod )f x p α +kongrüansının da bir tek çözümü olup, bu çözümdir.b) ( f ′( a ), p)= p olsun. Eğerjkongrüansının, x aj ( mod p α)f ( a j )( p)1( )x ≡ a + p y0 mod pjα α +( )f a j≡ 0( mod p)ise f ( x) ≡ 0( mod p)p α≡ koşulunu gerçekleyen çözümü yoktur. Eğer≡ 0 mod ise (7.6) nın p tane çözümüp αyolup, f ( x) 0( mod p α + 1)dir.≡ 0( mod p), y ≡ 1( mod p), ... , y ≡ p − 1( mod p)≡ kongrüansının çözümleri dej1( mod )α α +x ≡ a + tp p , ( t = 0,1,..., p − 1 )91