SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Örnek 1.6. n ∈ N ( Doğal Sayılar Kümesi ) olmak üzere 6 | n( n + 1)(2n+ 1)olduğunu kanıtlayınız.Çözüm. n( n + 1)(2n + 1) = A diyelim. n yi 6 ile bölerek, bölme algoritmasınagöre n = 6q + r , 0 ≤ r < 6 yazabiliriz. O halde;r = 0 ise: n = 6q ⇒ A = 6 q(6q + 1)(12 q + 1) ⇒ 6 | A ,r = 1 ise: n = 6q + 1 ⇒ A = (6q + 1)(6q + 2)(12q+ 3)= (6q + 1)2(3q + 1)3(4 q + 1)= 6(6q + 1)(3q + 1)(4q + 1) ⇒ 6 | A ,r = 2 ise: n = 6q + 2 ⇒ A = (6q + 2)(6q + 3)(12 q + 5)= 2(3q + 1)3(2 q + 1)(12 q + 5)= 6(3q + 1)(2q + 1)(12 q + 5) ⇒ 6 | A ,r = 3 ise: n = 6q + 3 ⇒ A = (6q + 3)(6q + 4)(12q+ 7)= 3(2q + 1)2(3q + 2)(12q+ 7)= 6(2q + 1)(3q + 2)(12q + 7) ⇒ 6 | A ,r = 4 ise: n = 6q + 4 ⇒ A = (6q + 4)(6q + 5)(12 q + 9)= 2(3q + 2)(6q + 5)3(4q+ 3)= 6(3q + 2)(6q + 5)(4q + 3) ⇒ 6 | A ,r = 5 ise: n = 6q + 5 ⇒ A = (6q + 5)(6q + 6)(12q+ 11)= (6q + 5)6( q + 1)(12 q + 11) ⇒ 6 | Abulunur. Bütün haller için 6 n( n 1)( 2n1)Bölme Algoritmasının Bir Uygulaması| + + olduğu görülür.Bölme algoritması yardımıyla tamsayıları verilen bir tabana göre yazabiliriz.Bir a > 1 tamsayısı göz önüne alalım ve bu tamsayıyı sabit tutalım. Şimdiherhangi bir b > 0 tamsayısı seçelim. Bölme algoritmasına göre b = aq0 + r0,0 ≤ r0< a olacak şekilde tek türlü belirli q0, r0tamsayı çifti vardır. Bu kez,bölme algoritmasını qove a ya uygularsak q0 = aq1 + r1, 0 ≤ r1< a olacakşekilde tek türlü belirli q1, r 1tamsayı çifti vardır. a > 1 olduğundanb > q0 > q1 > ...( 1.4 )olduğu açıktır. Şimdi bölme algoritmasını q , 1a çiftine uygularsakq1 = aq2 + r2, 0 r2a1.4 dizisiazalan bir dizi olduğundan sonlu bir n. adımda qn= 0 olacak şekildeb > q > q > q > ... > q > q = 0 dizisine ulaşırız. Böylece,0 1 2 n−1≤ < yazabiliriz. Bu şekilde devam edersek, ( )n10