SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

ulunur. Şu halde7[2,3,7] 42 n n)= | ( − dir.345Örnek 3.11. 4 tamsayısının 13 ile bölümünden elde edilen kalanı bulalım.345Çözüm. 4 ≡ x(mod13)bağıntısını sağlayan x tamsayısını bulmalıyız.(4,13) = 1 olduğundan Fermat Teoreminden,ϕ (13) 124 ≡ 1(mod13) ⇒ 4 ≡ 1(mod13)yazabiliriz. Böylece, 345 = 12.28 + 9 olduğundan345 12.28+9 12 28 9 2 4 44 ≡ 4 ≡ (4 ) .4 ≡ (4 ) .4 ≡ 3 .4 ≡ 27.12 ≡ 12(mod13)≡1 ≡3 ≡1345elde edilir. Şu halde, 4 ≡ 12(mod13) olup ,bölümünden elde edilecek kalan 12 dir.Örnek 3.12.7007126 (mod143)3454 tamsayısının 13 ile≡ x bağıntısını sağlayan x tamsayısını bulalım.2Çözüm. 143 = 11.13, 126 = 2.63 = 2. 3 .7 ve (143,126) = 1 olduğundan Eulerϕ (143)Teoremini kullanarak 126 ≡ 1(mod143) buluruz. Diğer taraftan,dir. Şu haldeϕ(143) = ϕ(11.13) = ϕ(11). ϕ(13) = (11 −1)(13 − 1) = 10.12 = 120120126 ≡ 1(mod143) ve 7007=58.120+47 olduğundan7007 120 58 47 47 47 2 23126 ≡ (126 ) .126 ≡ 126 ≡ ( −17) ≡ − (17 ) .17≡1 ≡323 7 3 2 3 2≡ −3 .17 ≡ −(3 ) .3 .17 ≡ −42 .9.17 ≡ −.42.9.17≡42≡ − 48.42.9.17 ≡ −140≡ 3(mod143)≡14 ≡10elde ederiz. Şu halde x = 3, yanikalan 3 tür.≡487007126 tamsayısının 143 ile bölümünden195Örnek 3.13. 2 + 1 tamsayısının 19 ile bölümünden elde edilen kalanıbulalım.Çözüm. (2,19) = 1 olduğundan Fermat Teoreminden,ϕ (19) 182 ≡ 1(mod19) ⇒ 2 ≡ 1(mod19)elde edilir. Diğer taraftan,2 2 2 1 2 218 = 2.3 ⇒ ϕ(18) = ϕ(2). ϕ(3 ) = 3 .(1 − ) = 3 . = 63 3ve böylece, ( 5,18)= 1 olduğundan Euler Teoremine göreϕ (18) 65 ≡ 1(mod18) ⇒ 5 ≡ 1(mod18)elde edilir. Buradan 19 = 6.3 + 1 olduğundan19 1919 6 3 5 5 55 ≡ (5 ) 5 ≡ 5(mod18) ⇒ 2 ≡ 2 ≡ 13(mod19) ⇒ 2 + 1 ≡ 14(mod19)≡133