SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

7. BÖLÜM. YÜKSEK DERECEDEN KONGRÜANSLARBu bölümde, n ≥ 2 bir tamsayı olmak üzere2 n−1na + a x + a x + ... + a x + a x ≡ 0 mod m(7.1)0 1 2 n−1n( )şeklindeki kongrüansların çözümlerini araştıracağız. Bu tip bir kongrüansınbütün çözümlerini veren bir metod yoktur. Ancak çin kalan teoremi yardımıyla(7.1) tipindeki bir kongrüansın çözümlerini arama problemi, p bir asal sayıolmak üzere( )+a + a x + a x + ... + a x + a x ≡ 0 mod p ( t ∈Z )2 n−1n t0 1 2 n−1nkongrüansının çözümlerini arama problemine indirgenebilir. mtamsayısının kanonik formuolsun. Ayrıcam = p p p αα 1 α 2k1 2...k2 n−1( ) 0 1 2...n−1diyelim. f ( x) 0( mod m)f ( u) ≡ 0( mod m)olur. Buradanf x = a + a x + a x + + a x + a x≡ kongrüansı çözülebilir ise bir u tamsayısı içini( ) 0( mod p αi )f ubulunur. Şu halde f ( x) 0( mod m)≡ ( i = 1,2,..., k )≡ kongrüansı çözülebilir isei( ) 0( modi )f x ≡ p α ( i = 1,2,..., k )kongrüansları da çözülebilirdir. Tersineif ( x) ≡ 0( mod p αi ) ( i = 1,2,..., k )ikongrüansları çözülebilir olsun. f ( x) 0( mod p αi )−αiαi−αiαiçözümü x = aiolsun. ( mpi, pi) = 1 olduğundan mpix ≡ 1( mod pi)kongrüansının bir tek çözümü vardır. Bu çözümüolur. u tamsayısınıolarak alalım. Böyleceve buradannnpozitif≡ kongrüansının biri( )imp b ≡ 1 mod p−α αi i iku = ∑mb ai iii 1 p α= ii( ) ( i ) 0( modi )biile gösterirsekf u ≡ f a ≡ p α ( i = 1,2,..., k )86