SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

ıv) Her ( a,b)∗ ∗∈ G ye karşılık ( a , b ) ( a, b) = ( 0,0)olacak şekilde bir( a ∗ , b ∗ ) ∈ G vardır.( a ∗ , b ∗ ) ( a, b) = ( 0,0 ) ⇒ ( a ∗ + a,2 −ab ∗ + b) = ( 0,0)⎧⎪ ∗∗a + a = 0 ⇒ a = −a∈ Z⎪ −a∗ −a∗⇒ ⎨2 b + b = 0 ⇒ 2 b = −b⎪ −a2 ≠0⎪ ∗ −b⇒+ ab = 2 b−a= − ∈ Q⎪⎩ 2⇒ a , b = −a, −2 b ∈G.∗ ∗ + a( ) ( )v) Her ( a, b) , ( c,d ) ∈ G için ( a, b) ( c, d ) = ( c, d ) ( a,b)sağlanması gerekmez. Çünkü−( a, b) ( c, d ) = ( a + c,2 c b + d )−( c, d ) ( a, b) = ( c + a,2 c d + b) ,olduğundan a = c = 1, d = 1, b = 2 alırsak,( 1 1,2 − 1 2 1 1) ( 1 1,2 −+ ⋅ + ≠ + ⋅ 1 + 2 )olur. Şu halde ( G, ) komütatif olmayan bir gruptur. eşitliğininTanım 2.3. G sonlu sayıda elemana sahip bir küme olmak üzere, ( G, ∗ ) ikilisibir grup ise bu gruba bir sonlu grup, G kümesinin eleman sayısına da Ggrubunun mertebesi adı verilir.Örnek 2.5. G { e}= , mertebesi 1 olan bir gruptur ve e aynı zamanda grubunbirim elemanıdır. Bu grubun işlem tablosuşeklindedir.Örnek 2.6. G { e,a}* ee e= , mertebesi 2 olan bir gruptur. Bu grubun işlem tablosu115