SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Tanım 13.4. H birimli ve değişmeli bir halka olsun. a ∈ H için { ha | h ∈ H}kümesi H nın a yı kapsayan bir idealidir. Bu ideale H da a nın doğurduğu asalideal adı verilir ve ≺ a ≻ şeklinde gösterilir. H da bir N idealinin asal idealolması için N =≺ a ≻ olacak şekilde bir a ∈ H bulunmalıdır.Örnek 13.6. F[ x ] halkasının bir ≺ x ≻ asal ideali, F[ x ] in sabit terimi sıfırolan polinomlarının kümesinden ibarettir.Teorem 13.7. F bir cisim ise o taktirde F[ x ] in her ideali bir asal idealdir.Kanıt. N , F[ x ] in bir ideali olsun. Eğer N = { 0}ise N =≺ 0 ≻ dır ve bir asalidealdir. N ≠ { 0}olduğunu kabul edelim. N nin sıfırdan farklı en küçükdereceli polinomu g( x ) olsun. der g( x ) = 0 ise g( x)∈ F dir ve F deinverslenebilirdir, yani çarpımsal inverse sahip bir elemandır. Böylece,N = F[ x] =≺ 1 ≻ olur ki, bu bize N nin bir asal ideal olduğunu gösterir.der g( x) ≥ 1 ve f ( x)∈ N olsun. O halde polinomlar için bölme algoritması ilef ( x) = g( x) q( x) + r( x)olacak şekilde q( x ) ve r( x ) polinomları bulunabilir. Bu durumda idealtanımına göre f ( x), g( x)∈ N olduğundan f ( x) − g( x) q( x) = r( x)∈ Nolduğunu elde ederiz. Böylece g( x ) , N nin sıfırdan farklı en küçük derecelielemanı olduğundan r( x ) = 0 bulunur. Bunu kullanırsak f ( x) = g( x) q( x)olur ki, bu N =≺ g( x)≻ olduğunu gösterir.Teorem 13.8. F[ x ] de ≺ p( x) ≻ ≠ {0} şeklindeki bir idealin bir maksimalideal olması için gerek ve yeter koşul p( x ) polinomunun F[ x ] deindirgenemez bir polinom olmasıdır.Kanıt. ≺ p( x) ≻ ≠ {0} idealinin F[ x ] in bir maksimal ideali olduğunu kabuledelim. Bu durumda ≺ p( x) ≻ ≠ F[ x]dir ve böylece p( x)∉ F dir. p( x ) inF[ x ] de p( x) = f ( x) g( x)şeklinde çarpanları olduğunu kabul edelim. p( x )maksimal ideal olduğundan bir asal idealdir. Böylece, f ( x) g( x) ∈≺ p( x)≻olması f ( x) ∈≺ p( x)≻ veya g( x) ∈≺ p( x)≻ olmasını gerektirir. Şu haldep( x ) , f ( x ) veya g( x ) in bir çarpanıdır. Öyle ise der f ( x) > p( x)veyader g( x) > p( x)olmak zorundadır. Bu sonuç yukarıdaki kabulümüz ile çelişir,dolayısıyla p( x ) , F üstünde indirgenemez bir polinomdur.Tersine p( x ) , F üstünde indirgenemez bir polinom ve bir N ideali için≺ p( x) ≻ ⊆ N ⊆ F[ x]olduğunu kabul edelim. Böylece, N önceki bir223