SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

dir.( a, b,2 ) G a, b R { 0}∈ ⇒ ∈ − ⎫ ⎪ ⎬ ⇒ ab ∈ R −R sıfır-bölensiz⎪⎭{ 0}ϕ = , yani ab = cıı) ϕ üzerinedir: Her c ∈ R −{ 0}a karşılık ( a, b,2)colacak şekilde bir ( a, b, 2)∈ G vardır. a = 1, b = c ∈ R −{ 0}için ( 1, c,2)buluruz.ııı) ϕ işlemi korur: Her ( a, b, 2 ), ( c, d, 2)∈ G içinϕ ⎡⎣( a, b,2 ) ( c, d, 2 ) ⎤⎦ = ϕ ( ac, bd,2) = ( ac)( bd ) = ( ab)( cd )= ϕ ( a, b,2 ) ϕ ( c, d, 2)ϕ = cdir. Burada R nin , “ + “ ya göre komütatif ve asosyatif olduğunu kullandık.a, b, 2 ≠ c, d,2 ⇒ ϕ a, b,2 ≠ ϕ c, d, 2 olupıv) ϕ , (1-1) midir ? : ( ) ( ) ( ) ( )≠ b için ( a, b,2 ) ( b, a,2)olmadığını araştıralım. aya göre komütatifliğindenϕ( a, b,2 ) = ϕ ( b, a, 2)≠ dir, fakat R nin , “ + “ab = badir. Dolayısıyla ϕ , (1-1) değildir. Şu halde ϕ bir homomorfizmadır.{ }Örnek 9.3. G = ( a, b,3 ) a,b ∈ Z olsun. ( a, b,3 ) ∗ ( c, d,3 ) = ( a + c, b + d,3)işlemi ile tanımlanan ( G,∗ ) grubunu ( Z ,+)içine resmedenϕ : ( a, b,3)→ a + btasvirinin bir homomorfi olduğunu gösterelim ve çekirdeğini bulalım.a, b,3G ϕ a, b,3= a + b ∈ Z dir.Çözüm. ı) ϕ içinedir: Her ( ) ∈ için ( )ıı) ϕ üzerinedir: Her t ∈Z ye karşılık ( x, y,3)şekilde bir ( x, y,3)∈ G vardır. x 0, y tϕ ( 0, t,3)= t olur.ııı) ϕ işlemi korur: Her ( a, b,3 ),( c, d,3)∈ G içinϕ (( a, b,3 ) ∗ ( c, d,3 )) = ϕ ( a + c, b + d,3) = ( a + c) + ( b + d )φ ∈ Z yani x + y = t olacak= = ∈ Z alabiliriz. Bu durumda( a b) ( c d ) ϕ ( a, b,3 ) + ϕ ( c,d,3 )= + + + =tür. Burada Z nin, “ + “ ya göre komütatif ve asosyatif olduğunu kullandık.{( a b ) G ϕ ( a b ) }Ker ϕ = , ,3 ∈ , ,3 = 0173