SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

olduğundan a( x0 + q2m) ≡ b(mod m)elde edilir. Şu halde x = x0 + q2mnindolayısıyla x ≡ x (mod 0nin de bu kongrüansın bir çözümü olduğunugöstermiş olduk.Tanım 4.2. ax ≡ b(mod m)kongrüansının çözümlerinden aynı kalan sınıfınaait olan çözümlere kongrüent çözümler, aynı kalan sınıfına ait olmayanherhangi iki çözüme ise inkongrüent çözümler (kongrüent olmayan çözümler)diyeceğiz.Örnek 4.1. 3x ≡ 2(mod 4) kongrüansı verilsin.x = 6 için: 3.6 ≡ 2(mod 4) ⇒ 18 ≡ 2(mod 4) ,x = 10 için: 3.10 ≡ 2(mod 4) ⇒ 30 ≡ 2(mod 4)olduğundan 6 ve 10, kongrüansın iki çözümüdür ve 6 ≡ 10(mod 4) olduğundanbu iki çözüm verilen lineer kongrüansın kongrüent çözümleridir.Örnek 4.2. 4x ≡ 10(mod 6) kongrüansı verilsin.x = 10 için: 4.10 ≡ 10(mod 6) ⇒ 40 ≡ 10(mod 6) ,x = 13 için: 4.13 ≡ 10(mod 6) ⇒ 52 ≡ 10(mod 6)dir. Ancak, 10 ≢ 13(mod 6) olduğundan bu iki çözüm, verilen lineerkongrüansın kongrüent olmayan ( inkongrüent ) çözümleridir.Teorem 4.3. ax ≡ b(mod m)kongrüansında ( a, m)= d ve d | b isekongrüansın, mod m tam d tane inkongrüent çözümü vardır. Bumçözümler, x0herhangi bir çözüm ve m ' = olmak üzere,dx0, x0 + m', x0 + 2 m ',..., x0+ ( d − 1) m 'şeklindedir.Kanıt. d | b olduğundan ax ≡ b(mod m)kongrüansının bir x0çözümü vardır.S = { x 0, x 0+ m', x 0+ 2 m',..., x 0+ ( d − 1) m '}ile gösterelim.i) S nin elemanları ax ≡ b(mod m)kongrüansını gerçekler. Gerçekten,x0 + tm'∈ S , 0 ≤ t ≤ d − 1 içinm aa( x0 + tm ') = ax0 + at = ax0 + tm = ax0+ a ' tmd dyazabiliriz. Şu halde ax0 ≡ b(mod m)ve a ' tm = 0(mod m)olduğundana( x + tm') ≡ b(mod m)elde ederiz.0a′∈Z42