SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

3) x ∼ y ve y ∼ z ise x.y = y ve y.z = z dir. Böylece, ( xy)( yz)= yz veyaG nin değişmeli bir yarı-grup olması nedeniylex( yy)z = yz ve ( xz)( yy)= zyyazabiliriz. Buradan G nin değişmeli olmasını ve hipotezi kullanarak,( xz)y = zy ve y( xz)= yz ⇒ xz = zelde ederiz, yani x ∼ z dir.Teorem 2.3. Bir ( G, ∗ ) grubu verilsin.1) ∀x ∈ G için e∗ x = x ∗ e = x olacak şekilde bir tek e ∈ G vardır.2) ∀x ∈ G için x ' ∗ x = x ∗ x ' = e olacak şekilde bir tek x ' ∈ G vardır.Kanıt.1) ( G, ∗ ) grubunun e,e1∈ G olmak üzere farklı iki birim elemanının varolduğunu kabul edelim.e1birim elemanı için e∗ e1 = e1∗ e = e ,e birim elemanı için e∗ e1 = e1 ∗ e = e1yazabiliriz. Bu iki eşitlikten e = e1elde ederiz.2) ∀x ∈ G için x1 , x2∈ G olmak üzere x1ve x2gibi farklı iki inversin varolduğunu kabul edelim.x1inversi için x ∗ x1 = x1∗ x = e ,x2inversi için x ∗ x2 = x2∗ x = eyazabiliriz. Bu iki eşitlikten x ∗ x1 = x ∗ x2elde ederiz, buradan da solsadeleştirme kuralı ile x1 = x2bulunur. Böylece, ∀x ∈ G için invers elemanbir tektir.Tanım 2.5. ( G,.)bir grup, a ∈ G ve e, G nin etkisiz elemanı olsun.an= a. a...a şeklinde tanımlanmak üzere:n tane011) a = e ve a = a ,+n 1 n2) n ∈ Z için a+ = a . a ,+−n−1n3) n ∈ Z için a = ( a ) dir.Uyarı: Grup işlemi “+” işlemi isekullanırız.0a yerine 0a vena yerine na gösteriminiTeorem 2.4. ( G ,.) bir grup, a ∈ G ve e, G nin birim elemanı olsun. Butaktirde m,n ∈ Z olmak üzere1)ne= e ,117