SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

elde edilir. Böylece≡ (mod ) ⇒ ≡ (mod )γ γ 'r r 'a a m a a mrr 'buluruz. Teorem 5.1. e göre a ve a , m modülüne göre inkongrüentolduğundan r = r ' elde ederiz. Şu halder = r ' ⇒ γ − γ ' = (q − q ') δ ⇒ γ −γ ' ≡ 0(mod δ )veyabulunur.∈Zγ ≡ γ '(mod δ )Sonuç: Bir a tamsayısının m modülüne göre eksponenti δ iseγa ≡ 1 mod m ⇔ δ | γ( )olmasıdır.Kanıt. Teorem 5.2. de γ ′ = 0 almak yeter.Teorem 5.3. a nın m modülüne göre eksponenti δ ise δ | ϕ( m)dir.Kanıt. eksma= δ ise aδ ≡ 1(mod m)ve 0 < δ ' < δ olmak üzereδ 'a ≢ 1(mod m)dir. Şimdi, ϕ ( m)tamsayısını δ ile kalanlı olarak bölelim.ϕ( m)= δ q + r , 0 ≤ r < δolacak şekilde q,r tamsayıları vardır. Burada r = 0 olmalıdır. Çünkü, eğerr > 0 olsaydı, Euler Teoremine göreϕ ( m)δ q r δ q r ra ≡ 1(mod m) ⇒ a + ≡ ( a) . a ≡ 1(mod m) ⇒ a ≡ 1(mod m)≡1elde edilirdi ki, bu r < δ olduğundan δ nın eksponent oluşu ile çelişirdi. Şuhalder = 0 ⇒ ϕ( m) = δ q ⇒ δ | ϕ( m)sonucu bulunur.Örnek 5.2. 7 nin 23 modülüne göre eksponentini bulalım.Çözüm. (7, 23) = 1 olduğundan Fermat Teoremine göre≡ ⇒ ≡ϕ (23) 227 1(mod 23) 7 1(mod 23)tür. eks237 = δ diyelim. Böylece 7 δ ≡ 1(mod 23) yazabiliriz ve Teorem 5.3. egöre δ | ϕ(23) = 22 olduğundan δ = 1,2,11 ve 22 değerlerinden birisi ( 22 nindoğal bölenleri ) olabilir.127 ≡ 7 ≢ 1(mod 23) , 7 ≡ 49 ≡ 3 ≢ 1(mod 23)11 2 5 5 3 27 ≡ (7 ) .7 ≡ 3 .7 ≡ 3 .3 .7 ≡ 4.9.7 ≡ 28.9 ≡ 5.9 ≡ 45 ≡ − 1(mod 23)≡3 ≡4 ≡322 11 11⇒ 7 ≡ 7 7 ≡ 1(mod 23)53