SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

ulunur, o halde ( ab, m ) = 1 dir.Bu teoremi aşağıdaki gibi genelleştirebiliriz:( a1, m ) = 1, ( a2, m ) = 1, ... , ( an, m ) = 1 ise ( a1a 2... an, m ) = 1dir.Teorem 1.7. (Aritmetiğin Esas Yardımcı Teoremi) a, b,c ( c ≠ 0) tamsayılarolmak üzere a | bc ve ( a, b ) = 1 ise a | c dir.Kanıt. ( a, b ) = 1 olduğundan Teorem 1.2. ye göre ax0 + by0 = 1 olacak şekildex , y ∈ Z tamsayıları vardır. Bu ifadenin her iki yanını c ile çarparak,0 0acx + bcy = c yazarız. Böylece, hipotezden0 0yani a | c elde ederiz.| , ( )a bca | ac ⇒ a | acx + bcy = c0 0Uyarı: a | bc ve a |/ b den a | c sonucu çıkarılamaz.Sonuç 1: p bir asal sayı olmak üzere p | bc ise p | b ve p | c ifadelerinden enaz birisi doğrudur. Çünkü, p | b ise ispat tamamdır, eğer p |/ b ise ( p, b ) = 1olacağından Teorem 1.7. ye göre p | bc den p | c elde ederiz.Sonuç 2: p|/ b ve p |/ c ise p |/ bc dir.Teorem 1.8. a, b,x tamsayılar olmak üzere( a, b) = ( b, a) = ( a, − b) = ( a, b + ax)dir.Kanıt. İlk üç eşitlik e.b.o.b. tanımından derhal elde edilir. Biz sadece( a, b) = ( a, b + ax)olduğunu gösterelim, bunun için ( a, b)= d1ve( a, b + ax)= d2olduğunu kabul edelim. ( a, b)= d1olduğundand1 | a ⇒ d1| ax⎫ ⎬ ⇒ d1| ( b + ax)d1| b ⎭⇒ d | ( a, b + ax)= d ,1 2e. b. o. b.tan.yani d1 | d2olur. Diğer taraftan, ( a, b + ax)= d2olduğundand2 | a ⇒ d2| ax⎫⎬ ⇒ d2| ⎡( b + ax)− ax⎤= bd2 | ( b + ax)⎣ ⎦⎭6