SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

elde ederiz. Bu ise H nın bir elemanının K nın bir elemanına eşit olacağınıH ∩ K = e olduğundan ortak elemangösterir, öte yandan 3) koşuluna göre { }birim eleman olabilir, yani;−1 −1h2 h1 = e, k2k1 = e ⇒ h1 = h2 , k1 = k2 ⇒ ( h1 , k1) = ( h2 , k2)bulunur. O halde φ bire-birdir.Ayrıca, 2) den∀h ∈ H , ∀k ∈ K için hk = kholduğundan HK = KH olup, HK nın değişmeli bir grup olduğu görülür.Üstelik, 1) den G = H ∨ K olduğundan HK = H ∨ K = G dir ve HK nın Gnin tamamına eşit olduğu görülür, o halde φ örtendir. Geriye φ nin işlemlerikoruduğunu göstermek kalır. Bunun için,φ[( h1 , k1)( h2 , k2 )] = φ[( h1 h2 , k1k2 )] = ( h1 h2 )( k1k2)yazabiliriz. Ayrıca,φ( h1 , k1) φ ( h2 , k2 ) = ( h1 k1)( h2k2)olduğundan HK nın değişmeli bir grup olması nedeni ile deφ [( h1 , k1)( h2 , k2)] = φ( h1 , k1) φ ( h2 , k2)elde edilir. Böylece, φ dönüşümü bir izomorfizmadır.Tanım 7.3. G bir grup ve gi∈ G olsun. G nin, { gi| i ∈ I}kümesini kapsayanen dar alt grubuna bu kümenin ürettiği alt grup adı verilir. Eğer G nin kendisinig | i ∈ I kümesi sonlu bir küme ise G ye sonlu üretilmiş bir grup adıüreten { }verilir.iÖrnek 7.7. Z×Z2grubu, {(0,0),(0,1) } kümesi tarafından üretilmiş birgruptur.Tanım 7.4. Bir G grubunun bütün elemanları sonlu mertebeden ise G grubunanbir torsiyon grubu adı verilir. Bu durumda ∀a ∈ G için a = e olacak şekildebir n ∈ Z vardır. Eğer G nin birim eleman dışında hiçbir elemanı sonlumertebeden değilse G ye bir serbest grup ( torsiyon olmayan ) adı verilir.Teorem 7.7. G, değişmeli bir grup olsun. G nin sonlu mertebeli bütünelemanlarının oluşturduğu küme G nin bir alt grubudur ( Bu gruba G nintorsiyon grubu adı verilir ).Kanıt. T, G nin sonlu mertebeli tüm elemanlarının kümesi ve a,b ∈ T olsun.Bu taktirde,Buradan+= = olacak şekilde m,n ∈ Z pozitif tamsayıları vardır.m na b e158