SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Özellik 15.1. Bir F cismi üstünde tanımlı bir vektör uzayı için aşağıdakiözellikler vardır; 1) Herhangi bir λ ∈ F için λ 0 = 0 ,2) Herhangi bir λ ∈ F ve a ∈ V için λ( − a)= − λa,3) Herhangi bir λ ∈ F ve a , b ∈ V için λ( a − b)= λa − λb,4) Herhangi bir a ∈ V için ( − 1)a = − a ,5) Herhangi bir a ∈ V için 0a = 0 ,6) λ , µ ∈ F ve a ∈ V için ( λ − µ )a = λ a − µ a dır.Tanım 15.2. V bir vektör uzayı ve U ⊂ V olsun. Eğer aşağıdaki koşullargerçeklenirse U ya V nin bir alt uzayı adı verilir:1) U , vektör toplamı işlemine göre V nin bir alt grubudur,2) ∀λ∈ F ve a ∈ U için λa ∈Udur.Bu tanıma göre U ≠ ∅ ve U ⊂ V olmak üzerea) 0 ∈U,b) ∀ u , w∈ U için u + w∈ U ,c) ∀λ∈ F ve ∀u ∈ U için λu ∈ Ukoşulları gerçeklenirse U ⊂ V alt kümesi F cismi üstünde tanımlanan V vektöruzayının bir alt uzayı olur. U kümesinin de V de ki işlemlere göre bir vektöruzayı olduğu gösterilebilir. Herhangi bir V vektör uzayının sadece sıfırvektöründen oluşan alt kümesi ve vektör uzayının kendisi V nin alt uzaylarıdır.Bu alt uzaylara V nin aşikar (trivial) alt uzayları adı verilir.3Örnek 15.4. E vektör uzayında , verilen bir düzleme veya doğruya paralel3vektörlerin kümesi, E vektör uzayının bir alt uzayını oluştururlar.Örnek 15.5. I ⊂ R aralığı verilsin. f : I → R şeklindeki bütünfonksiyonların I( I, R ) kümesi bir vektör uzayıdır. f :I → R şeklindekibütün sürekli fonksiyonların kümesi I( I, R ) nin bir alt vektör uzayıdır.Tanım 15.3. U ve V aynı F cismi üzerinde tanımlanmış iki vektör uzayı veϕ :V → U dönüşümü bire-bir ve üzerine olsun. Aşağıdaki iki koşulgerçeklenirse ϕ dönüşümüne V ile U vektör uzayları arasında bir izomorfizmave V ile U vektör uzaylarına da izomorfturlar deriz:1) ∀a,b ∈ V için ϕ( a + b) = ϕ( a) + ϕ( b),2) ∀λ∈ F ve ∀a ∈ V için ϕ( λa) = λϕ( a).242