SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Kanıt. Teorem 9.3. deki γ dönüşümü G nin bir homomorfizması ve H da Gnin bir normal alt grubu ise o taktirde γ H , γ G nin bir normal alt grubuolacaktır. Şimdi G nin γ : G → G K şeklindeki doğal izomorfizmasını gözönüne alalım. O haldedüşünülebilir. Kγ H , G K nın bir normal alt grubu olarak⊲ H olduğundan γ H = H K olur. Şimdi de: G ( G K ) ( H K )φ → , φ ( a) = ( aK)( H / K)dönüşümünü tanımlayalım. Bu dönüşüm bir homomorfizmadır. Çünkü,φ ab = ab K H K = aK bK H K( ) [( ) ( )] [( )( )]( )=[( aK)( H K)][( bK)( H K)]= φ ( a) φ ( b)dir ve H K , ( G K ) ( H K ) kalan sınıflar grubunun birim elemanıolduğundan, φ nin çekirdeği G nin φ ( x)= H K koşulunu sağlayan x ∈ Gelemanlarından oluşur. Bu elemanlar aynı zamanda H nın da elemanlarıG K H K ya izomorf olduğu bulunur.olduğundan G H nın, ( ) ( )GγHG HγKG K ( G K ) ( H K )γH KTanım 9.5. G bir grup ve H0, H1,..., Hnkümeleri G nin alt grupları olsun.∀ i için Hi⊲ Hi + 1şeklinde normal alt gruplar ve H0= { e}ve Hn= G olmaküzere H0, H1,..., Hnşeklindeki sonlu alt grupların dizisine G nin alt normalgrup serisi adı verilir. Eğer H0, H1,..., Hnalt grupları sadece G nin normal altgrupları ise bu sonlu diziye bir normal grup serisi denir.Örnek 9.7. ( , + ){ }Z grubunu göz önüne alalım. { }0 < 9Z< Z serileri, Z nin normal serileridir.Örnek 9.8. D4, karenin simetrilerinin grubu için0 < 8Z < 4Z < Z ve178