SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

3. BÖLÜM. ALT GRUPLARTanım 3.1. A ve B kümeleri verilsin. ∀x ∈ B için x ∈ A ise o taktirde B ye Anın bir alt kümesidir deriz ve B ⊆ A şeklinde gösteririz. B, A nın bir altkümesi iken eğer B ≠ A ise B ye A nın bir öz alt kümesidir deriz ve B ⊂ Aşeklinde gösteririz.Tanım 3.2. ( G, ∗ ) bir grup ve S de G nin bir alt kümesi olsun. G deki grupişlemi ile ∀a,b ∈ S için a ∗b ∈ S ise G nin grup işlemi, S de kapalıdır denirve G den S ye aktarılan bu işleme de G den S ye indirgenmiş işlem denir.Tanım 3.3. ( G, ∗ ) bir grup ve S de G nin boş olmayan bir alt kümesi olsun.Eğer S nin kendisi de “ ∗ ” işlemine göre bir grup oluşturuyor ise S ye G ninbir alt grubu denir ve S ≤ G şeklinde gösterilir.Tanım 3.4. ( , )G ∗ grubunun ({ },)e ∗ ve ( G, ∗ ) alt gruplarına bu grubunaşikar alt grupları denir. ( G, ∗ ) grubunun aşikar alt gruplarından farklı altgrupları varsa bu alt gruplara G nin öz alt grupları adı verilir.Örnek 3.1. ( Z , + ) ikilisi, ( , + )grubu, ( R , + ) grubunun bir alt grubu değildir.R grubunun bir alt grubudur, Q −{ }( 0 ,.)Örnek 3.2. ( G, ∗ ) bir grup ve e , G nin “ ∗ ” işlemine göre birim elemanıise, bu takdirde G nin kendisi ve { e } , G nin aşikar alt gruplarıdır.Örnek 3.3. ( Z4, + ) ve V-Klein 4 gruplarının işlem tabloları aşağıdaverilmektedir. Bu grupların öz alt gruplarını inceleyelim.+ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2* e a b ce e a b ca a e c bb b c a ec c b a e( Z , + ) Grubu V-Klein 4 Grubu4120