SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

veya14 | ( a 10 + a ) elde ederiz. Tersine 4 | ( a 10 + a ) ise,11 01 0nn−1 24 | ( an10 + an−110 + ... + a210 )olduğundan bu ikisinin toplamı da 4 ile bölünecektir, yaninn−1 2 14 | [( an10 + an−110 + ... + a210 ) + ( a110 + a0)] ⇒ 4 | mbuluruz.Örnek 2.5. ( 3 ile bölünebilme kuralı ) Bir m tamsayısının 3 ile bölünebilmesiiçin gerek ve yeter koşul bu tamsayının rakamları toplamının 3 ilebölünebilmesidir.nn−1 2 1Çözüm. m = an10 + an−110 + ... + a210 + a110+ a0ve 3 | m olsun. Binomaçılımındann n n ⎛ n⎞ n−1 ⎛ n⎞ n−2 2 ⎛ n ⎞ n−1n10 = (9 + 1) = 9 + ⎜ ⎟9 + ⎜ ⎟9 .1 + ... + ⎜ ⎟9.1 + 1⎝ 1 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ n −1⎠= 3b n+ 1, ( bn∈ Z )olduğu dikkate alınırsa,3 | [ a (3b + 1) + a (3b + 1) + ... + a (3b + 1) + a ] , ( b ,..., b , b ∈ Z )n n n−1 n−1 1 1 0yazabiliriz. Böylece,m1 n−1[ a b a b a b a a a a ]3 | 3( + + ... + ) + + + ... + +n n n−1 n−1 1 1 n n−1 1 0elde edilir. Ayrıca 3 | 3( anbn + an−1bn−1 + ... + a1b1) olduğundan 3 bunların farkınıda böler. Şu halde3 | ( a + a + ... + a + a )nn−1 1 0buluruz. Tersine 3 | ( an+ an−1+ ... + a1 + a0) ise 3 | m olduğu gösterilebilir.Örneğin, 102615 sayısının rakamları toplamı 15 olup, bu tamsayı 3 ilebölünebilir.Yukarıdaki örnekten, bir tamsayının 9 ile bölünebilmesi için rakamlarıtoplamının 9 ile bölünebilmesi gerektiği sonucunu hemen elde ederiz.Teorem 2.6. Asal olmayan bir 1 n > doğal sayısının p n ≤ koşuluna uyanen az bir p asal böleni vardır.n18